Презентация на тему Решение уравнений с помощью численных методов

уравнений, представленных в виде f(x)=0.
Пусть непрерывная функция f(x)

на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b)< 0, тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.
Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)×f(с) <=0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b.

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной (b-a)<

сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b]

и предельной погрешности количество вычислений n определяется условием (b-a)/2n< , или n~log2((b-a)/ ).
Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков ( ~ 10-6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Пусть известно некоторое приближенное значение Хn корня X. Нужно найти следующее приближение корня Хn+1. Формула метода касательных:

интервала [a,b], которому ордината того же знака, что и

знак второй производной, т.е. —x = a или
— х = b. Корень можно найти с любой степенью точности е. это означает, что .
Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

(криволинейной трапеции) на отрезке [a;b]
x
у
0
f(x)
a
b
= S

вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

Для большинства функций нахождение первообразной сложно или невозможно. Тогда применяется приближённое (численное) интегрирование.

= F(b)-F(a)

приближенно вычислить определённый интеграл

Суть метода: разобьём отрезок [а,b] на n равных отрезков длины h=(b-a)/n, разрезая фигуру под функцией f(x) на n полосок, считая их прямоугольниками.

Тогда
S  Si , при n Si  S

прямоугольника выбрать его левую сторону, то Si = f(xi-1)*h
S=(f(a)+

f(x1)+…+f(xn-1))*h

a,b,h,x,xb,s:real; function f(x:real):real; begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end; begin write('Введите нижний предел

интегрирования '); readln(a); write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b); write('Введите количество отрезков '); readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; x0:=a; for i:=0 to n-1 do begin x:=x0+i*h; s:=s+f(x)*h; end; writeln('Интеграл равен ',s:12:10); end.

прямоугольника выбрать его правую сторону, то Si = f(xi)*h
S=(f(x1)+…+f(xn-1)+

f(b))*h

то Si=(f(xi)+ f(xi-1))/2*h
S = (f(a)/2

+ f(x1) + …+ f(xn-1)+ f(b)/2)*h

метод Монте-Карло – назван в честь города в княжестве

Монако, где находятся всемирно известные казино (рулетка).

И как это ни парадоксально, но совершенно случайное помогает в вычислении строго определённого.

метода:
поместим фигуру в квадрат со стороной а.
Будем

наугад, т. е. случайным образом бросать точки в этот квадрат.