Презентация на тему Решениеквадратных уравненийразличными способами

применять – великое искусство.

и формировать умение выбора рационального способа решения.

математике, познакомившись со способами решения квадратных уравнений.
Изучить различные

способы решения.
Распространение различных способов.

уравнений позволит выбирать самый рациональный для их решения.
Изучение программного

материала по учебникам А.Г.Мордковича, Н.В.Алимова, Ю.Н.Макарычева
Изучение дополнительного материала по энциклопедиям
Изучение исторического материала по сайтам Интернета
Работа в программах Microsoft Word, Excel, PowerPoint, Publisher

уравнений, способствующих развитию умственных способностей и математического кругозора ученика.

Объект

исследования: раздел математики «Уравнения».

Предмет исследования: квадратные уравнения.

в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с

нахождением площадей земли, а также с развитием астрономии и математики

сводя их решение к геометрическим построениям

дает Диофант Александрийский.

квадратных уравнений, приведенных к единой форме:
ах2+вх=с, а0.

(1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ

решения квадратных уравнений принял современный вид.

ax2 + bx + c = 0,
где х- переменная,

а,b и с-некоторые числа, причем,
а ≠ 0.
Если в квадратном уравнении
ах2 + bx + c = 0
хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ах2 + с = 0, где b = 0;
2) ах2 + bх = 0, где с = 0;
3) ах2 = 0, где b = 0, c = 0.

мнению?

уравнений?

циркуля и линейки
Геометрический способ
Методом переброски
С помощью номограммы

а + b + с = 0, то х1

= 1, х2 = .
Доказательство: Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета: х1 · х2 = , х1 + х2 = - .
По условию, а + в + с = 0, тогда в = - а - с. Значит,
х1 · х2 = = 1 · , х1 + х2 = - = - = 1 + .
Получаем х1 = 1, х2 = , что и требовалось доказать.
Пример
3х2 + 5х – 8 = 0,
т.к. а + b + с = 0
( 3 + 5 – 8 = 0 ), то получим
х1 = 1, х2 = = -
Ответ: 1 и -

с, то х1 = -1, х2 = -

.
Доказательство аналогично первому.

Пример
11х2 + 27х + 16 = 0,
Т.к. b = a + c (27 = 11 + 16 ), значит
х1 = - 1, х2 = - = - .
Ответ: -1 и -

( b = 2k ), то формулу корней можно

записать в виде .

Пример
4х2 – 36х + 77 = 0,
а = 4, b = - 36, с = 77, k = - 18;
D = k2 – ас = ( - 18 )2 – 4 · 77 = 324 – 308 = 16, D > 0, два различных корня;

х1 = 5, 5 , х2 = 3,5.
Ответ: 5,5 и 3,5.

окружности:
Точка А (0;1)
ax2 + bx + c = 0
SA

– радиус окружности
т.S (x;y) – центр окружности

-

2х – 3 = 0

=

 

х1 = – 1, х2 = 3

 

Центр окружности:

Точка А (0;1)

х2 +4х + 4 = 0

х = – 2

 

 

Точка А (0;1)

Центр окружности:

нет решения

х2 – 2х + 3 = 0

 

Точка А (0;1)

– 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем у2 – 6у

= 16.
В левой части уравнения выделяем полный квадрат и получаем
y2 + 6y + 9 = 16 + 9, отсюда получаем (y + 3)2 =25.
Следовательно, y + 3 = ±5, откуда y1 = 2, y2 = -8.

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а2 х2 + а bх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению
у2 + by + ас = 0,
равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = и х2 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83

таблиц Брадиса.

+ 8 = 0
Соединим p=-9 и q=8, номограмма даёт

корни: х1 = 8 и х2 = 1

Из эксперимента:
2х2 – 9х + 4 = 0 / :2
х2 - 4,5х + 2 = 0
Соединим p=-4,5 и q=2, номограмма даёт корни: х1 = 4 и х2 = 0,5

p q

новых способах решения
квадратных уравнений. Я надеюсь, что они помогут

и мне, и моим
одноклассникам в будущем.Я считаю, что своей цели я достигла. Но
также я узнала, что существует около 100 способов решения
квадратных уравнений. Поэтому, я думаю, что буду продолжать свои
исследования в более старших классах.