Презентация на тему по алгебре 9 класса на тему Арифметическая прогрессия (9 класс)

номер имеет член этой последовательности, если он равен 144?

225? 100?

Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?

144=122=х12

225=х15, 100=х10

48 и 168 не являются членами последовательности,
49 – является.

un+1=3un+1 .

Как называется такой способ задания последовательности?

Найдите

первые четыре члена этой последовательности.

Рекуррентный способ.

u1=2
u2=3u1+1=7
u3=3u2+1=22
u4=3u3+1 =67

an=(n-1)(n+4)
Как называется такой способ

задания последовательности?

Найдите n, если an=150 ?

Формулой n-ого члена.

Заметим, что в формуле n-ого члена множители отличаются друг от друга на 5.
150=(n-1)(n+4)
150=10·15
n=11

что означает «движение вперед» и был введен римским автором

Боэцием (VI в.).
Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.
Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

Ани́ций Ма́нлий Севери́н (ок.480 — 524 (526)), один из

наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог.
Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук.

Боэций (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа»

….

11, 8, 5, 2, -1, ….

5, 5, 5, 5,

5, ….

Найдите для каждой последовательности следующие два члена.

22, 26

-4, -7

5, 5

начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и

тем же числом.

(an) - арифметическая прогрессия,
если an+1 = an+d ,
где d-некоторое число.

арифметической прогрессии
Число d, показывающее,

на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии.

d=an+1-an

11, 8, 5, 2, -1, ….

5, 5, 5, 5, 5, ….

Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.
В случае , если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

d=4, an+1>an

d=-3, an+1

d=0, an+1=an

Каждый день в течение месяца на склад приходит машина

с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

a1=50, d=3
1 числа: 50 т
2 числа: +1 машина (+3 т)
3 числа: +2 машины(+3·2 т)
………………………………………
30 числа:+29 машин(+3·29 т)
a30=a1+29d
a30=137

a4=a3+d=a1+3d
……………………..
an=an-1+d=a1+(n-1)d

an=a1+d (n-1)

и d=3.

Решение:
Воспользуемся формулой n-ого члена

с81=с1+d(81-1),
c81=20+3·80,
c81=260.
Ответ: 260.

…, 7, …, 13…
Можно ли восстановить

утраченные числа?

Заметим, что a3=a1+2d, a5=a3+2d, a7=a5+2d и т.д.
Тогда d=(an+2-an):2, то есть d=2.
Искомая последовательность
3, 5, 7, 9, 13, 15, …
Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности?

последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности

постоянна:
an-an-1=an+1-an,
2an=an-1+an+1,
an=(an-1+an+1):2

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов.

c1=5,8 и d=-1,5.

Решение:
Воспользуемся формулой n-ого члена

с21=с1+d(21-1),
c21=5,8+(-1,5)·20,
c21=-24,2.
Ответ: -24,2.

ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова

ее разность?

Решение:
Поскольку an+1=3+5(n+1)=3+5n+5=an+5, при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы an+1=an+5 разность этой прогрессии равна 5.

an=kn+b, где k и b – некоторые числа.

an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d)

Последовательность(an), заданная формулой вида
an=kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.
an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k

разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член

прогрессии.

Дано: a7=1, a7=a4-a2.
Найти: a1.
Решение:

По условию a7=a4-a2, то есть a7=2d,
но a7=1, поэтому d=0,5.
a7=a1+6d,
a1=a7-6d,
a1=1-6·0,5,
a1=-2

№601а.

Творческое задание:
Докажите, что в арифметической прогрессии

для любых номеров, таких что k