Презентация на тему по алгебре на тему Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин

должен знать:

• алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;
• как называется

область науки, занимающейся решением задач на оптимизацию;
• как составить математическую модель простейшей задачи на оптимизацию;
• несколько методов решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

значения функции в решении задач;
• составлять математическую модель для решения

задач на оптимизацию;
• применять различные методы в решении задач на оптимизацию;
• сотрудничать в групповой работе, оценивать результаты своей деятельности.
владеть:
• различными методами решения задач на оптимизацию,

никогда его не поймет»
Лейбниц Готфрид Фридрих
История возникновения производной функции

применения, называется дифференциальным исчислением.

древности Архимедом, разработавшим способ проведения касательной.
Архимед построил касательную к

спирали, носящей его имя.

Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.) – великий ученый. Первооткрыватель многих фактов и методов математики и механики, блестящий инженер.

с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и

математики, но в первую очередь следующих двух : определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

Ньютон доказал, что путь и скорость связаны между собой

формулой:
V(t) = S′(t)
Т.е. скорость точки есть производная от пути по времени.
Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t. (физический смысл)

Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной. Производную – ф л ю к с и е й.

кривой, сформулировал геометрический смысл производной, т. е. что значение

производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной
или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

Готфрид Фридрих Лейбниц-немецкий учёный.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц в 1684 году опубликовал первую статью по дифференциальному исчислению, в которой были изложены основные правила дифференцирования.

«производная впервые встречается у француза Луи Арбогаста и является

буквальным переводом на русский французского слова deriveе. Этим термином стал пользоваться Лагранж который ввёл в 1797 г. современные обозначения у' , f'.

Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его

помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник Дифференциальное исчисление. 

что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют

решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:
Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;
Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;
Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

Зачем нужны задачи на оптимизацию?

трех этапов математического моделирования:

составление математической модели;

2) работа с математической

моделью;

3) ответ на вопрос задачи.

Как решать задачи на оптимизацию?

оптимизируемую величину (О.В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем

значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой y.

2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О.В.,примите ее за независимую переменную (Н.П.) и обозначьте ее буквой x. Установите реальные границы изменения Н.П., т. е. область определения для искомой О.В.

3) Исходя из условий задачи, выразите y через x. Математическая модель задачи представляет собой функцию y = f(x) с областью определения X, которую нашли на втором шаге.

для функции y=f(x), x ϵ X найдите yнаим. или

yнаиб.
в зависимости от того, что требуется найти в условии задачи.

конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные

на этапе работы с моделью.

то она достигает на нем своего наибольшего и своего

наименьшего значений.

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка так и внутри него.

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

на отрезке [a,b]

Найти производную функции;

2) Найти стационарные и критические

точки, лежащие внутри отрезка [a,b];

3) Вычислить значение функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, в точках a и b, выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение функции.