Презентация на тему по математике для 11 класса по теме Уравнения и неравенства

переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение

– значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения

Примеры: 2х–3=5х+1; ; х2–2х+1=0.

cos t = a
t = ± arccos a + 2πn, nЄZ
cos t = 1 cos t = -1 cos t = 0
t=2πn, nЄZ t=π+2πn, nЄZ t=π/2+πn, nЄZ
sin t = a
t = (-1)karcsin a + πk, kЄZ
sin t = 1 sin t = -1 sin t = 0
t=π/2+2πn, nЄZ t=-π/2+πn, nЄZ t=πn, nЄZ
tg t = a ctg t = a
t=arctg a+πn, nЄZ t=arcctg a+πn, nЄZ

cosα, tgα, ctgα.

x
y
0
1
1
-1
-1

-3cosx + 1 = 0
Уравнения, приводимые к квадратным:
2sin2x +

sinx – 1 = 0 cos2x + 3sinx = 3
Уравнения с разложением на множители:
cos2x – cosx = 0; sin2x + cosx=0; cos6x – cos2x=0
Однородные уравнения первой степени:
asinx + bcosx = 0 sinx +2cosx = 0
Однородные уравнения второй степени:
3sin2x+ sinxcosx – 2cos2x = 0

содержится переменная, называют иррациональными.

Алгоритм решения уравнения:
1способ: 2способ 1) Решить уравнение, Привести уравнение к
возведя обе части равносильной системе,
уравнения в квадрат; используя определение и
2) Сделать проверку. возведение в квадрат.

Пример:

+ 4
x2 - 6x + 5 = 0
x1 =

5, x2 = 1
Проверка:

Равенство верное ═>
═>x=5 явл. корнем

Возведем обе части
уравнения в квадрат

√2∙1-1 =1-2
1=-1

√2∙5-1 = 5-2
3 = 3

Равенство неверное ═>
═>x=1 не явл. корнем
Ответ: x=5.

b)

2x-1=(x-2)2,
x-2≥0

x=5, x=1,
x≥2

<═>

<═>

<═> x=5
Ответ: x=5

2x-1=x2-4x+4,
x≥2

<═>

x2-6x+5=0,
x≥2

<═>

<═>

аx = b ,

где a>0 и a ≠ 1.

Уравнение имеет единственный корень, если b>0.
Алгоритм решения простейшего показательного уравнения:
ax = b (b представить в виде b = ac)
ax = ac (основания равны ═> показатели равны)
x = c
Уравнение не имеет решений, если b≤0.

другими способами:
7х+2 + 4∙7х+1 = 539
49∙7х + 28∙7х =

539
7х(49+28) = 539
7х∙77 = 539
7х = 539:77
7х = 7
х=1

Решений нет

logax = b , где

a>0,a≠1 и x>0.

Алгоритм решения логарифмических уравнений:
1 способ: 2 способ:
Найти ОДЗ; 1) Решить уравнение, приведя
2) Решить уравнение, приведя обе обе части к логарифмам с
части к логарифмам с одинаковыми основаниями;
одинаковыми основаниями; 2) Выполнить проверку.
3) Сравнить корни с ОДЗ.

Пример: log2(x - 4) = 3

log5(x-4) = 2

ОДЗ: х-4 > 0
log5(x-4) = log525 х > 4
x-4 = 25
x=29
Уравнения, приводимые к квадратным:
lg2x + 2lgx – 1 = 0 ОДЗ: х>0
Пусть lgx = y
y2 + 2y – 1 = 0
y=1
lgx =1
x=10

log3(x+1) + log3(x+3) = 1
log3(x+1)(x+3) = log33
log3(x2+4x+3) = log33
x2+4x+3=3
x2+4x=0
x(x+4)=0
x=0 x=-4
Проверка: x=0
log31+log33=1
1=1 => x=0 является корнем
х=-4
log(-3)+log(-1)=1
Выражение не имеет смысла =>х=-4 не
является корнем
Ответ: х=0

и записанные с помощью знаков >,

неравенство – значит найти все значения переменной или доказать, что таких значений нет.
Решения неравенств можно отмечать на координатной прямой или записывать в виде промежутка.

Примеры: 2х > 6, -4x ≤ 8, x2 -16 < 0,

1). Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковыми

основаниями;
2). Сравниваем основания с единицей( при a>1 показательная функция возрастает ═>знак между показателями не меняем, при 0<а<1 функция убывает ═> знак между показателями меняем на противоположный);
3). Решаем неравенство относительно показателей.

Примеры: 2х ≥ 8 32х + 2∙3х – 15 > 0

=>
=> знак неравенства меняем на противоположный

х ≥ 3
Ответ: х ≥ 3

32х +2∙3х-15 ≥ 0
Пусть 3х = у, ОДЗ: у>0
у2+2у-15 ≥ 0
у1= 3, у2= -5 ¢ ОДЗ
Решаем методом интервалов


у ≥ 3 => 3х ≥ 3
Основание 3>0 =>знак неравенства
не меняем
х ≥ 1
Ответ: х ≥ 1.

0

3

+

-

Решаем логарифмическое неравенство:
- приводим обе части к логарифмам с

одинаковыми
основаниями;
- сравниваем основания с единицей( при a>1 функция
логарифмическая возрастает ═> знак между подлога-
рифмическими выражениями не меняем, при 0 функция убывает ═> меняем на противоположный);
- решаем неравенство с подлогарифмическими выражениями;
3). Находим общие решения.

Примеры: log4(x-2) ≤ 3 log0,3(x2-1) > -3

ОДЗ: х-2 > 0
log4(x-2) ≤ log464 х > 2
Основание 4≥0 => знак между
подлогарифмическими
выражениями не меняем
х-2 ≤ 64
х ≤ 66
Общее решение => 2 < х ≤ 66

Ответ: х є (2;66]

подстановки;
способом сложения;
графическим способом.
Системы неравенств:
решается первое неравенство;

решается второе неравенство;
находятся общие решения.

3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 16.

Тест.