Слайд 2
Цели и задачи:
Изучить свойства и особенности
графиков степенных
функций
, где r – рациональное число.
Рассмотреть примеры практического применения изученных свойств функций.
Показать использование степенных функций в окружающей жизни.
Слайд 3
Степенными функциями
называют функции вида
,
где r – любое
рациональное число
Слайд 4
О происхождении терминов и обозначений
К умножению равных сомножителей
приводит решение многих задач. Понятие степени с натуральным показателем
возникло уже в Древней Греции (выражение квадрат числа возникло при вычислении площади квадрата, а куб числа – при нахождении объема куба). Но современные обозначения (типа
) в XVII в. ввел Декарт.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробным показателем встречаются в XIV в. у французского математика Н. Орема (1323 -1382). Известно, что Шюке (ок. 1445 - ок. 1500) рассматривал степени с отрицательным и нулевым показателем.
С.Стевин предложил подразумевать под корень .
Немецкий математик М. Штифель (1487-1567) дал определение
при и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень.
Но систематически рациональные показатели первым стал употреблять Ньютон (1643 -1727).
Слайд 5
Рене Декарт
(1596-1650)
Симон Стевин
(1548-1620)
Николай Оре́м,
или Николай
Орезмский
(1323-1382)
Слайд 7
Степенная функция у=х ,
где
- целое число
m
m
Слайд 15
Свойства функции
;
не является ни
четной, ни нечетной;
возрастает на ;
не ограничена сверху, ограничена снизу;
не имеет наибольшего значения; ;
непрерывна;
;
выпукла вниз;
Слайд 16
Докажем третье свойство:
Тогда
, т.е.
Итак, из
следует
т.е. функция
возрастает.
Пусть
Слайд 17
Выводы:
Особенности графика функции
, где
: расположен в I координатной четверти, проходит через точки (0;0), (1;1), похож на «ветвь» параболы.
Слайд 18
Степенные функции
их свойства и графики
Слайд 19
Функция
y
x
-1 0 1 2
у =
х0,84
у = х0,7
у = х0,5
Слайд 20
Выводы:
Особенности графика функции
, где
: расположен в I координатной четверти, проходит через точки (0;0), (1;1), похож на график функции , обладает такими же свойствами.
Слайд 21
Степенные функции
их свойства и графики
Слайд 22
Функция
x
-1 0 1 2
y
у =
х-3,8
у = х-2,3
Слайд 23
Выводы:
Особенности графика функции
:
расположен в I координатной четверти,
проходит через точки (0;0), (1;1),
похож на «ветвь» гиперболы.
График данной функции имеет горизонтальную
асимптоту у = 0 и вертикальную асимптоту х = 0.
Слайд 24
2. Практическое применение
1. Решите уравнение
Решение.
Нетрудно подобрать один корень этого уравнения:
х
= 1.
2) Т.к. степенная функция
Ответ : х =1.
возрастает, а линейная
функция
убывает, то других корней у
уравнения нет.
– верное равенство.
Слайд 25
2). Найдите наименьшее и наибольшее значение функции
Решение:
Воспользуемся
тем, что функция возрастает и, следовательно, свои наименьшее и
наибольшее значения достигает соответственно в левом и правом концах заданного промежутка, если концы промежутка принадлежат самому промежутку.
на отрезке [1;2].
Слайд 26
Задание.
Построить график функции
x
y
у=(х-2)-1
3
0 1
Слайд 27
Пример
x
-1 0 1 2
у =
(х+2)–1,3 +1
у = х-1,3
Слайд 28
Пример
x
-1 0 1 2
у =
(х+2)–1,3 +1
у = х-1,3
Слайд 29
Задания для самостоятельного решения
Решите уравнение
.
Постройте и прочитайте график функции
Решите неравенство .
Слайд 31
«Долго думал,
да ничего не выдумал»
Идеи, придумки, задумки
Слайд 32
«Как аукнется, так и откликнется»
У - ответ на
поступки
Х-поступки(добрые, злые)
X
Y
Слайд 33
«Поменьше говори,
побольше услышишь»
У, количество услышанного
х, количество разговора
где S - площадь
поперечного сечения провода
диаметра d
F=Qm1m2r -2 , где F - сила притяжения между двумя телами с массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r, Q-постоянная гравитационная величина
Применение степенной функции
в физике
Траектория движения тела, брошенного вверх
H
м
Слайд 35
Применение степенной функции
в экономике
Функция спроса
Графики издержек
Слайд 36
3. Степенные функции в окружающей
жизни. Гиперболоиды вращения
Вращая гиперболу
вокруг каждой из этих осей, получают два гиперболоида вращения
-однополостной и двуполостной.
Слайд 37
Однополостной гиперболоид
вращения обладает
замечательным свойством —
через
каждую точку этого
гиперболоида проходят две
прямые линии, целиком
лежащие
на нём.
Поэтому однополостной
гиперболоид как бы соткан из
прямых линий.
Однополостной гиперболоид
Слайд 38
Свойства однополостного гиперболоида использовал русский инженер В.Г. Шухов
при строительстве радиостанции в Москве (башни Шухова). Она состоит
из нескольких
поставленных друг на друга однополостных гиперболоидов.
Также устроена и Эйфелева башня в Париже.
Применение гиперболоидов
Слайд 39
Пусть парабола начнет
вращаться вокруг оси ординат. Получится
что-то вроде чаши, только, чтобы она не была бесконечной, отрежем часть ее плоскостью, перпендикулярной оси ординат. Образуется фигура, которая называется параболоидом.
При вращении тонкого прямоугольного сосуда с жидкостью вокруг его горизонтального центра поверхность жидкости в сосуде принимает форму параболы
Параболоид вращения
Слайд 40
Свойство параболы о фокусировании параллельного пучка
прямых используется в конструкции прожекторов, фонарей, фар, а так
же телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Слайд 41
Если теперь сделать внутреннюю поверхность параболоида зеркальной и
направить поток света по направлению
оси ординат, то все лучи света соберутся в одной точке, которую, называют фокусом. А если в фокус поставить источник света, например, электрическую лампочку, то получится самая обыкновенная фара, или прожектор, или часть карманного фонарика.
Слайд 42
Одно из очень важных применений параболы на практике
связано с антенными устройствами.
Слайд 44
Парабола вокруг нас
Перевал Нижняя Парабола
Слайд 46
Парабола в архитектуре и строительстве