Презентация на тему проекта учеников 8 класс по теме Квадратные уравнения

способы решений.

способы решений.
Выбрать наиболее рациональный способ решения.
Сделать выводы.

ax2 + bx + c = 0,

где коэффициенты а, b, c – любые действительные числа, причём а ≠ 0.
Коэффициенты a, b. c различают по названиям: а − первый или старший, коэффициент; b − второй коэффициент, или коэффициент при x; c − свободный член.

уравнение, у которого коэффициенты b, c отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение − это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведённым,

если старший коэффициент отличен от 1.

2) с=0, в≠0, то ах²+вх=0;
3) в=0, с≠0, то

ах²+с=0.

Пример:

х²=0, 8х²=0,
х=0. х²=0,
х=0.
Ответ: 0.

ax2+ bx= 0,

ПРИМЕР:
х(ах + в)=0, 3x²+9x = 0,
х=0 или ах +в=0, 3x(x+3) = 0,
x1= 0,  x2= - b/a .         x1= 0,   x2= -3.
Ответ: -3;0.

0
ax² +c = 0
ax² =

-c,
x2= -c/a.
Eсли ( -с/a )>0, то уравнение имеет 2 корня.
Eсли ( -c/a )<0, , то уравнение не имеет корней.
ПРИМЕР 1: 4x²-16 = 0, ПРИМЕР 2: 3x2+10=0,
            4x²= 16, 3x2= -10.
                 x² = 4, Уравнение не имеет
действительных
      x1= 2;   x2= -2. корней.
Ответ: -2;2.

«Квадратное уравнение , дискриминант которого меньше нуля , не

имеет решение» , можете блеснуть эрудицией , уточнив : « Не имеет решение в действительных числах , в комплексных же имеет целых два корня».

уравнение: х2−4х + 3 = 0.
РЕШЕНИЕ: Разложим на множители

квадратный трёхчлен х2 −4х + 3, используя способ группировки.
х2 −4х + 3 = х2−х−3х + 3 = ( х2 −х) −(3х −3) =
= х(х−1) −3(х−1) = (х −1) (х−3).
Значит, уравнение можно переписать в виде
(х −1) (х −3) = 0,
х−1 = 0 или х−3 = 0,
х1 = 1, х2 = 3.
Ответ: 1;3.

х2 + 10х +

25 = 0,
(х + 5)2 = 0,
х + 5 = 0,
х = −5.
Ответ: -5.

ПРИМЕР 2:
Х2 + 8х −1 = 0,
Х2 + 2х ∙4 −1 = 0,
Х2 + 2х∙4 + 16 = 16+ 1,
( х + 4)2 = 17,
Х+4= −√17 или х + 4= √17,
Х1= −4 −√17, х2= −4 +√17.

уравнение Х2 – 2 х – 3 = 0.
а=1

, в=−2 , Х0 = −в/2а = 1,
У0 = 1−2−3 = −4.
Значит , вершиной параболы служит точка ( 1; -4 ) , а осью параболы служит прямая х=1 .
2) Возьмем точки, симметричные относительно оси параболы.




3) Через точки проводим параболу
Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х.
4) Ответ : −1; 3.

– 2 х – 3 = 0.

Преобразуем

уравнение к виду Х2 = 2 х + 3.
Построим в одной системе координат графики функций у =Х2 и у = 2х + 3.
Они пересекаются в двух точках А( −1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В.

Ответ : −1; 3.

они не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

+ c = 0.
Дискриминант
D = b2 – 4ac
X1,2

= −b ± √D
2a

x1,2 = −b / 2a

Уравнение корней
не имеет.

D>0

D=0

D<0

3x −5 = 0.
РЕШЕНИЕ: a =1, b = 3,

c = −5.
D = b2 −4ac = 32 − 4 ∙1 ∙(−5) = 29.
Так как D>0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам
х1 = ;

х2 =

уравнение -9х2 + 6х – 1 = 0.
РЕШЕНИЕ. Умножим

обе части уравнения на -1, получим 9х2- 6х + 1 =0.
Здесь а = 9, b =-6, c = 1.
D = b2 – 4ac =36 – 36 = 0.
Так как D =0, то данное уравнение имеет два одинаковых корня.
Корни находятся по формуле x1 = x2 = −b / 2a = =1/3 .

уравнение 2х2 – х + 3,5 = 0.
РЕШЕНИЕ. Здесь

a=2, b= -1, c=3,5.
D =b2 – 4ac =1 -28 = -27.
Так как D<0, то данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

«различающий».
Дискриминант «различает» квадратные уравнения по числу корней.

ax² +2kх +c = 0 .
Дискриминант
D = k2 −ac
X1,2

= −k ± √ D
a

X1,2 = −k
a

Уравнение корней
не имеет.

D>0

D<0

D=0

на множители ; б) графическим ; в) с использованием

формул.

Решая уравнения, засекли время решения (в минутах ) для каждого способа решения .
1 . 2 х2 – 9х = 0 ;
2 . х2 - 64 = 0 ;
3 . х2-14 х + 49 = 0 ;
4 . х2 + 6 х + 8 = 0 ;
5 . 4 х2 -7х – 7,5 = 0 ;
6 . 2 х2 – 10 х + 1 = 0 ;
7 . 2 х2 = 3 х + 2 .

решение уравнений графическим способом затрачено времени больше, чем на

два других способа решения и не к любому квадратному уравнению его можно применить.
На решение уравнений способом разложения на множители и по формулам затрачено в среднем равное количество времени. Эти способы равноценны. Алгоритм решения квадратного уравнения по формулам дискриминанта является универсальным. Он применим к любому квадратному уравнению. К неполным и приведённым квадратным уравнениям применим способ разложения на множители.