Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему по алгебре и началам математического анализа на тему Равносильность уравнений

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.Например, уравнения х2 - 4 = 0 и (х + 2)(2x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют
Равносильность уравнений учитель математики Яровенко Ольга Сергеевна Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или Например, уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5, .  Этапы решения уравнений Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса. Теоремы о равносильности уравнений «СПОКОЙНЫЕ ТЕОРЕМЫ» Определение 3.  Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения 4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x),  где h(x) Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных Решить уравнение Решить уравнение Две причины потери корней при решении уравнений:О потере корней С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f(х)h(х) = Домашнее задание
Слайды презентации

Слайд 2 Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни

имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют

корней.

Например, уравнения х2 - 4 = 0 и (х + 2)(2x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня:
2 и -2. Равносильны и уравнения х2+1=0и√x=-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной
f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.


Слайд 3

Например, уравнение х - 2 = 3 имеет

Например, уравнение х - 2 = 3 имеет корень х =

корень х = 5, а уравнение (х - 2)2

= 9 имеет два корня: х1 = 5, х2 = -1. Корень уравнения х - 2 = 3 является одним из корней уравнения (х - 2)2 = 9. Зна­чит, уравнение (х - 2)2 = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3.
Достаточно очевидным является следующее утверждение.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Определение 2. Если каждый корень уравнения
f(x) = g(х) (1)
является в то же время корнем уравнения
р(х) = h(х), (2)
то уравнение (2) называют следствием уравнения (1)


Слайд 4 .


Этапы решения уравнений

. Этапы решения уравнений

Слайд 5


Реализация этого плана связана с поисками

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

ответов на четыре вопроса.


Слайд 6



Теоремы о равносильности уравнений

Теоремы о равносильности уравнений

Слайд 7








«СПОКОЙНЫЕ ТЕОРЕМЫ»

«СПОКОЙНЫЕ ТЕОРЕМЫ»

Слайд 8
Определение 3.
Областью определения уравнения f(х)

Определение 3.  Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью

= g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют

множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения
f(х) и g(х).


ОДЗ


Слайд 9 Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение:

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части

если обе части уравнения умножить или разделить на одно

и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.





«БЕСПОКОЙНЫЕ ТЕОРЕМЫ»


Слайд 10 4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) =

4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x)

h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))n=(g(x))n , где f(x)≥0, g(x)≥0
и n=2k (чётное число).

6. loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(х), где f(х) > О, g(х) > 0 и а>0 и a≠1

Краткая запись теорем 4 – 6.


Слайд 11 Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6,

Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения

не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.

Например.

а) х – 1 = 3; х = 4
Умножим обе части на (х – 2):
(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

б) ln(2x-4) =ln(3x-5)
Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней.


Слайд 12 Решить уравнение

Решить уравнение        Решение. Первый



Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) -> (2) (3) -> (4) -> ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.








100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х²
9х² - 416х + 796 = 0
х₁ = 2; х₂ = 398/9

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.
х₂ = 398/9 - посторонний корень.
Ответ: х = 2








Пример 1







Слайд 13 Решить уравнение

Решить уравнение

ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х).

Решение. Первый этап. Воспользуемся правилом «сумма ло­гарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением
ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
ln (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х).
Потенцируя, получаем:
(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х); 2х2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х; 2х2 + 13х + 11 = 0; х₁ = -1, х2 = -5,5.

Второй этап. В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.

Третий этап. Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе ре­шения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств




Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а зна­чение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 2




Слайд 14 Две причины потери корней при решении уравнений:


О потере

Две причины потери корней при решении уравнений:О потере корней

корней


Слайд 15
С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить

С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f(х)h(х)

от уравнения f(х)h(х) = g{х)h{х) к уравнению h(x)(f(x) –

g(x))=0 (а не к уравнению f(x)=g(x)). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х2 = 4 и решим его двумя способами.
Первый способ. Воспользовавшись определением логарифма, находим:
х2 = 104; х₁ = 100, х2 = -100.
Второй способ. Имеем: 2lg х = 4; lg x = 2; х = 100.
Обратите внимание: при втором способе произошла потеря кор­ня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х2 =2lglхl мы воспользовались неправильной формулой
lg х2 = 2lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.
Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей
формулы были одинаковыми.




  • Имя файла: prezentatsiya-po-algebre-i-nachalam-matematicheskogo-analiza-na-temu-ravnosilnost-uravneniy.pptx
  • Количество просмотров: 179
  • Количество скачиваний: 0