Презентация на тему по алгебре и началам анализа Многочлены. Делимость многочленов. 10 класс

существуют различные виды многочленов.
Одночлен: 2а³, 3a²b, 7…
Двучлен: 3х+4, 2а³

– 4с² …
Трёхчлен (включая квадратный трёхчлен): 3х+4b+c,
2x²+3x–7…
И так далее

Особое место занимают многочлены от одной переменной.

представляет собой сумму одночленов. Одночлены располагаются по убывающим степеням

переменной х. Записывается так:
Р n(х) = а0хn+а1хn–1+а2хп–2+… +а n – 2х2+а n – 1х +аn
Причем, старший коэффициент а0 отличен от нуля.
Такая запись называется стандартным видом многочлена Р(х).

а0хn+а1хn–1+а2хп–2+… +а n – 2х2+а n – 1х +аn

Если

а0 = 1, то многочлен называется приведённым, в противном случае он называется неприведённым.
Одночлен аn называют свободным членом многочлена Р(х).
Число n – показатель степени старшего члена – называют степенью многочлена.

её натуральные степени, можно записать в стандартном виде

P(x) = a0xn +a1xn – 1 +…+ an – 1 x + an
где a0,a1……an – 1 ,an – некоторые действительные числа.
Если а0  0, то многочлен P(x) называют многочленом n – ой степени, член a0xn старшим членом, an – свободным членом.
Если P(x) = а0, где а0  0, называют многочленом нулевой степени. Число 0 называют нулевым многочленом.

Вывод.

общего множителя за скобки.
Способ группировки
Использование формул сокращенного умножения
Разложение квадратного

трехчлена на множители.

и S(х) тождественны тогда и только тогда, когда они

имеют одинаковую степень и коэффициенты при одноименных степенях переменной в обоих многочленах равны.

многочленов ненулевой степени р(х) и s(х) существует пара многочленов

q(х) и r(х) такая, что степень многочлена r(х) меньше степени многочлена s(х) и выполняется тождество

многочлены.

Особое место в теории многочленов занимает деление многочленов.

Но

прежде рассмотрим ещё несколько теорем.

от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен х

– а равен р(а)
(т.е. значению многочлена р(х) при х = а).

Эту теорему обычно называют теоремой Безу в честь французского математика Этьена Безу (1730 – 1783).

все коэффициенты многочлена р(х) - целые числа. Если целое

число а является корнем многочлена р(х), то а – делитель свободного члена многочлена р(х).

многочлен р(х) степени ≥ 3 разлагается в произведение многочленов

первой и второй степени.

одной переменной выделяются ещё многочлены от двух и более

переменных.

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.

n-ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом

члене многочлена равна n.

Если р(х;у) – однородный многочлен, то уравнение р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене

х на у и у на х.

Теорема. Любой симметрический многочлен р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

симметрический многочлен, то уравнение р(х;у) = 0 называют симметрическим

уравнением.

Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения – симметрические.

10x2  7х 12 на многочлен Q(x) = 5х

+4.

10x2  7х  12

10x2 + 8х  12

5х +4



2х

15х  12



15х  12

0

ДЕЛИМОЕ

ПЕРВЫЙ ОСТАТОК

ДЕЛИТЕЛЬ

ЧАСТНОЕ

ОСТАТОК

Остаток равен нулю, поэтому многочлен P(x) делиться на многочлен Q(x)

 3

+ 2x2 – 1 на многочлен Q(x) = x2

+ x.

x2 + x

3x4 + 0х3 + 2x2 + 0х – 1



3x4 + 3x3

– 3x3 + 2х2 + 0х – 1

3x2



– 3x3 – 3x2

5x2 + 0х – 1

5x2 + 5x



– 5x – 1

Степень остатка – 5x – 1 меньше степени делителя x2 + x, деление закончено.

Ответ: 3x2 – 3х + 5  частное, – 5x – 1 остаток.

– 3х

+ 5

– частное, степень которого m = n – k

, R(x) – остаток , степень которого l < k.

Формула деления многочленов с остатком

Если многочлен P(x) степени n > 1 делят на многочлен Q(x) степени k  1,k  n то справедливо равенство:

делимое и делитель по убывающим степеням х;
2. Разделить старший

член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;
3. Первый член частного умножить на делитель; результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;
4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

+ 1 – 15х3 + 2х5 – 9x2 на

многочлен 2x2  х3

2х5 + 4x4 – 15х3 – 9x2 + 3х +1

2х5 – 4x4

 х3 + 2x2







– 2х2

8x4 – 15х3 – 9x2 + 3х +1

8x4 – 16х3

х3 – 9x2 + 3х +1

х3 – 2x2

– 7x2 + 3х +1

Ответ: – 2х2 – 8х – 1  частное, – 7x2 + 3х + 1 остаток.

– 8х

– 1

многочлен Q(x), а многочлен Q(x) делится на многочлен M(x)

, то многочлен P(x) делиться на многочлен M(x) .

2. Если многочлены P(x) и Q(x) делятся на многочлен M(x), то многочлены P(x) + Q(x) и P(x)  Q(x) делятся на многочлен M(x), а многочлен P(x)  Q(x) делиться на многочлен M 2(x) .

 7х + 10):(х  5)
(6x3 +7х2 

6х + 1):(3х  1)
(4x3  5х2 + 6х + 9):(4х + 3)
(15x3  х2 + 8х  4):(3х2 + х + 2)
(9х4 9x3  х2 + 3х  2):(3х2  2х + 1)

Ответы:

х  1
х  2
2х2 + 3х  1
х2  2х + 3
5х  2
3х2  х  2

96,

Упражнения №№ 1, 4 (всем), № 7 (по

желанию) стр. 96 – 97.