Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Экстремум функции

Содержание

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенствоЗначения функции в точках х0 и х1называются соответственномаксимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции называетсяэкстремумом функции.
9.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИТочка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки maxminmax На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.Например, Для того, чтобы функция y=f(x) имелаэкстремум в точке х0 , необходимо, чтобыее Точки, в которых выполняется необходимоеусловие экстремума, называютсякритическими или стационарными.Т.об., если в какой-либо Найти критические точки и экстремумыфункций:1Примеры Решение:Применим необходимое условие экстремума:- критическая точка min 2 Решение:Применим необходимое условие экстремума:- критическая точка Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x)меняет знак с Доказательство:Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором интервалеа и будет убывать на По определению возрастающей функции Для убывающей функции -точка максимума.Аналогично доказывается для минимума. 1Найти производную функции2Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или 3Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.4Найти экстремум функции. Исследовать функцию на экстремум:Пример Решение:Применим схему исследования функции на экстремум:1Находим производную функции: 2Находим критические точки:критические точки 3Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:minВ точке х=1 экстремума нет. 4Находим экстремум функции: Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а Доказательство:Пусть следовательнои в некоторой окрестности точки х0, т.е. функциябудет возрастать на содержащем точку х0.Но на интервалеа на интервале Таким образом, функцияпри переходе через точку х0 меняет знак с минуса на Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная
Слайды презентации

Слайд 2
Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности

в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство

Значения функции в

точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции.

Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции.


Слайд 3
max
min
max

maxminmax

Слайд 4 На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов,

На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть,

причем может быть, что минимум в одной точке больше

максимума в другой.

Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции.

Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю:



Слайд 5 Однако, функция может иметь экстремум в точке, в

Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не

которой она не дифференцируема.
Например, функция
имеет минимум в точке
но

она в этой точке не дифференцируема.

Слайд 6 Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке

Для того, чтобы функция y=f(x) имелаэкстремум в точке х0 , необходимо,

х0 , необходимо, чтобы
ее производная в этой точке равнялась
нулю

или не существовала.


необходимое условие экстремума:


Слайд 7 Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или

Точки, в которых выполняется необходимоеусловие экстремума, называютсякритическими или стационарными.Т.об., если в

стационарными.
Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта

точка является критической.

Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.


Слайд 8 Найти критические точки и экстремумы
функций:
1


Примеры

Найти критические точки и экстремумыфункций:1Примеры

Слайд 9 Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Решение:Применим необходимое условие экстремума:- критическая точка

Слайд 12 Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Решение:Применим необходимое условие экстремума:- критическая точка

Слайд 14 Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой

Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x)меняет знак

функции y=f(x)меняет
знак с плюса на минус, то х0

есть точка
максимума, а если с минуса на плюс, то х0
есть точка минимума.


первое достаточное условие экстремума


Слайд 15 Доказательство:
Пусть производная меняет знак с плюса на минус,

Доказательство:Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором

т.е. на некотором интервале
а на некотором интервале
Тогда функция y=f(x)

будет возрастать на

Слайд 16 и будет убывать на
По определению возрастающей функции

и будет убывать на По определению возрастающей функции Для убывающей функции -точка максимума.Аналогично доказывается для минимума.


Для убывающей функции

-точка максимума.
Аналогично доказывается для минимума.


Слайд 17 1

Найти производную функции
2

Найти критические точки функции, в которых

1Найти производную функции2Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю

производная равна нулю или не существует.

схема исследования функции на

экстремум

Слайд 18 3

Исследовать знак производной слева и справа от каждой

3Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.4Найти экстремум функции.

критической точки.
4

Найти экстремум функции.


Слайд 19 Исследовать функцию на экстремум:


Пример

Исследовать функцию на экстремум:Пример

Слайд 20 Решение:
Применим схему исследования функции на экстремум:
1
Находим производную функции:

Решение:Применим схему исследования функции на экстремум:1Находим производную функции:

Слайд 21 2
Находим критические точки:

критические точки

2Находим критические точки:критические точки

Слайд 22
3
Исследуем знак производной слева и справа от каждой

3Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:minВ точке х=1 экстремума нет.

критической точки:



min
В точке х=1 экстремума нет.


Слайд 23 4
Находим экстремум функции:

4Находим экстремум функции:

Слайд 24 Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке

Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х0 равна нулю,

х0 равна нулю, а
вторая производная в этой точке


положительна, то х0 есть точка
минимума, а если вторая производная
отрицательна, то х0 есть точка максимума.


второе достаточное условие экстремума:


Слайд 25 Доказательство:
Пусть
следовательно
и в некоторой окрестности точки х0, т.е.

Доказательство:Пусть следовательнои в некоторой окрестности точки х0, т.е.

Слайд 26 функция
будет возрастать на
содержащем точку х0.
Но

на

функциябудет возрастать на содержащем точку х0.Но на интервалеа на интервале

интервале
а на интервале


Слайд 27 Таким образом, функция
при переходе через точку х0 меняет

Таким образом, функцияпри переходе через точку х0 меняет знак с минуса

знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является

точкой минимума.

Аналогично доказывается случай для максимума функции.



Слайд 28 Схема исследования функции на экстремум в этом случае

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но

аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на:
3

Найти вторую

производную и определить ее знак в каждой критической точке.

  • Имя файла: ekstremum-funktsii.pptx
  • Количество просмотров: 162
  • Количество скачиваний: 2