Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Понятие предела функции

Содержание

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ1) словесный;2) табличный;3) графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)). График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)».4) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е.
Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ1) словесный;2) табличный;3) графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место Классификация вещественных функций вещественного аргумента ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:1) степенные: y = xr (r∈ℝ)2) показательные: y = ax (a > 0, a ≠ 1)3) логарифмические: Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция вида Рациональной (дробной рациональной) Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции.Трансцендентными называют остальные элементарные функции. Основные характеристики поведения функции1) Четность функции (четная, нечетная, общего вида);2) Периодичность § Предел функции Определение предела функции по КошиПусть функция f(x) определена в Геометрическая интерпретация понятия предела функции Свойства пределовЕсли функция имеет предел при x → x0 , то этот предел единственный.2) Если функция ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → x0 , если 3) ЛЕММА (о 5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x → x0 . Тогда их сумма, 6) Пусть f(x) имеет предел при x → x0 и ∃δ>0 такое, что f(x) ≥ 0 9) Пусть f: X → Y , ϕ: Y → Z и существуют пределы Тогда сложная функция Предел последовательностиОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если область Принято обозначать: аргумент последовательности: n (или k) значения функции: xn, yn и т.д. Называют: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если ∀ε>0 ∃N∈ℕ такое, что ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности Пусть r∈ℝ, M(r)∈Ox M(r) – геометрическая Из определения предела последовательности следует: если {xn}→a , то с геометрической точки зрения Число А называется пределом последовательности {xn} при n→∞, если Пишут: nxn1246811Доказать:1±1/7n1246811 Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если то Бесконечно большие функции Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0∈ℝ̄ Частные случаи бесконечно больших функций: 1) f(x) – б.б. при x → x0 и СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ 1) Если f(x) – б.б. при x → x0, то 5) Если f(x) – б.б. при x → x0 , g(x) – имеет предел при Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если Пишут: nxn10050246xn =n28C=9C=10011 Определение. Последовательность {xn} называется - возрастающей, если для любого n xn Односторонние пределы. Условие существования 3) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 слева равен +∞ ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования предела f(x) при x → x0  и x0∈ℝ). Определение предела функции|2x+5-7|=2|x-1| Определение предела функции (продолжение)1 Замечательные пределы Название замечательных пределов в математическом анализе получили следующие два утверждения: СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Замечание. Из формулы замены переменной ⇒ 1-й и Сравнение б.м. и б.б. функций Пусть функции α(x) и β(x) – б.м. 4) α(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно малой β(x), если Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их следствий можно получить Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции. А именно, если f(x) ТЕОРЕМА (о замене бесконечно больших на эквивалентные). Пусть f(x), g(x), f1(x), g1(x) –
Слайды презентации

Слайд 2 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) словесный;
2) табличный;
3) графический;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ1) словесный;2) табличный;3) графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое

y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x;

f(x)).
График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)».
4) аналитический:
а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) )
б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).

Слайд 3 Классификация вещественных функций вещественного аргумента

Классификация вещественных функций вещественного аргумента

Слайд 4 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:
1) степенные: y = xr (r∈ℝ)
2) показательные: y = ax

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:1) степенные: y = xr (r∈ℝ)2) показательные: y = ax (a > 0, a ≠ 1)3)

(a > 0, a ≠ 1)
3) логарифмические: y = logax (a > 0, a ≠ 1)
4)

тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx
5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Слайд 5
Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция

Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция вида Рациональной (дробной

вида


Рациональной (дробной рациональной) функцией называют отношение двух многочленов


Иррациональными

функциями называют функции, полученные конечным числом арифметических операций над аргументом х и конечного числа композиций степенных функций с рациональным показателем.






Слайд 6
Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные

Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции.Трансцендентными называют остальные элементарные функции.

рациональные) и иррациональные функции.
Трансцендентными называют остальные элементарные функции.

Слайд 7

Слайд 8 Основные характеристики поведения функции
1) Четность функции (четная,

Основные характеристики поведения функции1) Четность функции (четная, нечетная, общего вида);2)

нечетная, общего вида);
2) Периодичность функции;
3) Монотонность функции (возрастающая, убывающая,

неубывающая, невозрастающая);
4) Ограниченность функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная).

Слайд 9 § Предел функции
Определение предела функции по Коши
Пусть

§ Предел функции Определение предела функции по КошиПусть функция f(x) определена

функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0∈ℝ̄ ,

кроме, может быть, самой точки x0 .
U*(x0, δ) = U(x0, δ) \ {x0} – проколотая окрестность точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (по Коши, на языке ε-δ).
Число A∈ℝ называется пределом функции f(x) при x , стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), когда ∀ε>0 ∃δ>0 такое, что
если x∈U*(x0, δ) , то f(x)∈U(A, ε) .

Слайд 10




Геометрическая интерпретация понятия предела функции












Геометрическая интерпретация понятия предела функции

Слайд 11 Свойства пределов
Если функция имеет предел при x → x0 ,
то

Свойства пределовЕсли функция имеет предел при x → x0 , то этот предел единственный.2) Если

этот предел единственный.
2) Если функция f(x) имеет предел при x → x0 ,

то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 (говорят: функция локально ограничена).


Слайд 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → x0 ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → x0 , если 3) ЛЕММА

если
3) ЛЕММА (о роли бесконечно малых функций).
Число

A∈ℝ является пределом функции f(x) при x → x0  ⇔ f(x) = A + α(x) , где α(x) – бесконечно малая при x → x0 .
4) Пусть f(x) – ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 , α(x) – бесконечно малая при x → x0 . Тогда f(x) ⋅ α(x)  – бесконечно малая при x → x0 .


Слайд 13 5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при

5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x → x0 . Тогда их

x → x0 .
Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже

имеют предел при x → x0 , причем
Следствие свойства 5. Если f(x) имеет предел при x → x0 , то ∀c∈ℝ функция с ⋅ f(x) тоже имеет предел при x → x0, причем
Говорят: «константу можно вынести за знак предела».
Замечание. Свойство 5 и его следствие обычно называют теоремами о пределах.





Слайд 14 6) Пусть f(x) имеет предел при x → x0 и

6) Пусть f(x) имеет предел при x → x0 и ∃δ>0 такое, что

∃δ>0 такое, что f(x) ≥ 0 (или f(x) > 0), ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда


7) Пусть f(x) и g(x) имеют пределы при x → x0 и ∃δ>0 такое, что f(x) ≥ g(x) (или f(x) > g(x)), ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда
8) ЛЕММА (о двух милиционерах).
Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x → x0 и ∃δ>0 такое, что f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x) , ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда функция ϕ(x) тоже имеет предел при x → x0 , причем



Слайд 15 9) Пусть f: X → Y , ϕ: Y → Z и существуют

9) Пусть f: X → Y , ϕ: Y → Z и существуют пределы Тогда сложная функция

пределы
Тогда сложная функция ϕ(f(x)) имеет предел при x → x0

, причем
Формула (1) называется формулой замены переменной в пределе.



Слайд 16 Предел последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, заданная на

Предел последовательностиОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если

множестве натуральных чисел.
Если область значений последовательности – числовое множество,

то последовательность называют числовой, если область значений – множество функций, то последовательность называют функциональной.

Слайд 17 Принято обозначать:
аргумент последовательности: n (или k)
значения функции: xn,

Принято обозначать: аргумент последовательности: n (или k) значения функции: xn, yn и т.д.

yn и т.д.
Называют: x1 – первый член последовательности,

x2 – второй член последовательности и т.д.
xn – n-й (общий) член последовательности.
Способы задания последовательностей:
1) явно (т.е. формулой xn = f(n) )
2) рекуррентным соотношением
(т.е. формулой xn = F(xn-1, xn-2,…, xn-k) )
Записывают последовательность:
{ x1, x2, …, xn, …} – развернутая запись;
{ xn } – короткая запись (где xn  – общий член последовательности).

Слайд 18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если ∀ε>0 ∃N∈ℕ такое,

∀ε>0 ∃N∈ℕ такое, что
| xn – a | N.
Записывают:
Говорят:

последовательность { xn } сходится (стремится) к a.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к числу a)
Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.


Слайд 19 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности
Пусть r∈ℝ, M(r)∈Ox

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности Пусть r∈ℝ, M(r)∈Ox M(r) – геометрическая интерпретация


M(r) – геометрическая интерпретация числа r∈ℝ .
Пусть x0∈ℝ, ε>0.


Интервал (x0 – ε; x0 + ε) называют ε-окрестностью точки x0.
(геометрическое определение ε-окрестности точки)
Будем обозначать: U(x0, ε)
Имеем: U(x0, ε) = {x∈ℝ :  |x – x0| < ε}
(алгебраическое определение ε-окрестности точки)

Слайд 20 Из определения предела последовательности следует: если {xn}→a ,
то с

Из определения предела последовательности следует: если {xn}→a , то с геометрической точки

геометрической точки зрения
это означает,
что в любой ε-окрестности

точки a находятся все члены последовательности {xn},
за исключением, может быть, конечного числа членов этой последовательности. (Геометрическая интерпретация предела последовательности).
⇒ a – точка «сгущения» последовательности { xn }.


Слайд 21 Число А называется пределом последовательности {xn} при

Число А называется пределом последовательности {xn} при n→∞, если Пишут: nxn1246811Доказать:1±1/7n1246811

n→∞, если Пишут:


n
xn
1
2
4
6






8





11


Доказать:

1±1/7
n
1
2
4
6
8
11

Слайд 22 Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если то

Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если то есть если

есть если


n
xn
1
2 4 6 8

10 12 14 16





















ε=0,2

ε=0,1



2ε

2ε

Слайд 23 Бесконечно большие функции
Пусть функция f(x) определена в

Бесконечно большие функции Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки

некоторой окрестности точки x0∈ℝ̄ , кроме, может быть, самой

точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ε-δ).
Функцию f(x) называют бесконечно большой при x → x0 (в точке x0), если ∀M>0 ∃δ>0 такое, что
если x∈U*(x0, δ), то | f(x) |>M .
Говорят: «f(x) стремится к ∞ при x → x0»
«предел функции f(x) при x → x0 равен ∞».


Слайд 24 Частные случаи бесконечно больших функций:
1) f(x) –

Частные случаи бесконечно больших функций: 1) f(x) – б.б. при x → x0

б.б. при x → x0 и f(x) ≥ 0 , ∀x∈U*(x0, δ) .
Тогда

| f(x) | = f(x) >M , ∀x∈U*(x0, δ)
Записывают:
Говорят: «f(x) стремится к + ∞ при x → x0»
«предел функции f(x) при x → x0 равен + ∞».
2) f(x) – б.б. при x → x0 и f(x) ≤ 0 , ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда | f(x) | = – f(x) > M 
⇒ f(x) < – M, ∀x∈U*(x0, δ)
Записывают:
Говорят: «f(x) стремится к – ∞ при x → x0»
«предел функции f(x) при x → x0 равен – ∞».



Слайд 25 СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ
1) Если f(x) –

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ 1) Если f(x) – б.б. при x → x0,

б.б. при x → x0, то функция 1/f(x) – б.м. при

x → x0.
Если α(x) – б.м. при x→x0, то функция 1/α(x) – б.б. при x→x0.
(связь бесконечно больших и бесконечно малых)
2) Если f(x) и g(x) – б.б функции одного знака, то их сумма f(x) + g(x) – б.б. того же знака.
3) Если f(x) – б.б при x → x0 , g(x) – ограниченна в некоторой окрестности U*(x0, δ), то их сумма f(x) + g(x) – б.б. при x→ x0.
4) Если f(x) и g(x) – б.б. при x → x0 , то их произведение f(x) ⋅ g(x) – тоже б.б. при x → x0 .

Слайд 26 5) Если f(x) – б.б. при x → x0 , g(x)

5) Если f(x) – б.б. при x → x0 , g(x) – имеет предел

– имеет предел при x → x0, причем
то их произведение f(x) ⋅ g(x)

– б.б. при x → x0 .
6) Если f(x) – б.б. при x → x0 и ∀x∈U*(x0, δ) имеет место неравенство | f(x) | < | g(x) | (| f(x) | ≤ | g(x) |),
то функция g(x) тоже является б.б. при x → x0 .
7) Пусть f(x) и g(x) – б.б. одного знака при x → x0 и ∃δ>0 такое, что f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x) , ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда функция ϕ(x) тоже является б.б. того же знака при x → x0 .
(лемма о двух милиционерах для б.б. функций)


Слайд 27 Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если Пишут:

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если Пишут: nxn10050246xn =n28C=9C=10011




n
xn
100
50
2
4
6
xn =n2






8




C=9



C=100
11



Слайд 28 Определение. Последовательность {xn} называется
- возрастающей, если для

Определение. Последовательность {xn} называется - возрастающей, если для любого n xn

любого n xn < xn+1; обозначают

(↑)
неубывающей, если для любого n xn ≤ xn+1; (↑)
убывающей, если для любого n xn > xn+1; (↓)
невозрастающей, если для любого n xn ≥ xn+1; (↓)

Определение. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными

Теорема Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности)
Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf {xn} ).

Предел монотонной последовательности

Слайд 29 Односторонние пределы. Условие существования

Односторонние пределы. Условие существования (x0∈ℝ).Пусть f(x)

(x0∈ℝ).
Пусть f(x) определена

в некоторой окрестности точки x0∈ℝ , кроме, может быть, самой точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) Число A∈ℝ называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0 слева (в точке x0 слева), если ∀ε>0 ∃δ>0 такое, что если x удовлетворяет условию
0 < x0 – x < δ,
то f(x)∈U(A, ε) .
2) Число B∈ℝ называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0 справа, если ∀ε>0 ∃δ>0 такое, что если x удовлетворяет условию
0 < x – x0 < δ,
то f(x)∈U(B, ε).


Слайд 30 3) Говорят, что предел функции f(x) в точке

3) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 слева равен

x0 слева равен +∞ (–∞) (функция стремится к +∞

(–∞) при x, стремя- щемся к x0 слева), если ∀M>0 ∃δ>0 такое, что если x удовлетворяет условию
0 < x0 – x < δ,
то f(x) > M ( f(x) < –M).
4) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 справа равен +∞ (–∞), если ∀M>0 ∃δ>0 такое, что, если x удовлетворяет условию 0 < x – x0 < δ,
то f(x) > M ( f(x) < –M).
Обозначают:
– предел f(x) в точке x0 слева,
– предел f(x) в точке x0 справа.
Если x0 = 0, то пределы слева и справа обозначают:




Слайд 31 ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования предела f(x)

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования предела f(x) при x → x0  и

при x → x0  и x0∈ℝ).
Функция f(x) имеет предел (конечный)

при x → x0 ⇔ существуют конечные и равные между собой односторонние пределы функции f(x) при x → x0 . При этом


Замечание.
Все свойства пределов и бесконечно больших остаются справедливыми и для односторонних пределов.


Слайд 32

Определение предела функции









|2x+5-7|=2|x-1|

Определение предела функции|2x+5-7|=2|x-1|

если

f(x) называется
б. б., если


f(x) называется
б. б., если


Слайд 33

Определение предела функции (продолжение)




























1

Определение предела функции (продолжение)1

Слайд 34 Замечательные пределы
Название замечательных пределов в математическом анализе

Замечательные пределы Название замечательных пределов в математическом анализе получили следующие два

получили следующие два утверждения:

– первый замечательный предел;
– второй замечательный предел.
СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА






Слайд 35 СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА

Замечание. Из формулы замены

СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Замечание. Из формулы замены переменной ⇒ 1-й

переменной ⇒ 1-й и 2-й замечательный пределы и их

следствия остаются верными, если вместо x будет стоять любая б.м. функция α(x).





Слайд 36 Сравнение б.м. и б.б. функций
Пусть функции α(x)

Сравнение б.м. и б.б. функций Пусть функции α(x) и β(x) –

и β(x) – б.м. при x → x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) α(x) называется

бесконечно малой более высокого порядка чем β(x) если
Записывают: α(x) = o(β(x)) .
2) α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка, если
где С∈ℝ  и C ≠ 0 .
Записывают: α(x) = O(β(x)) .
3) α(x) и β(x) называются эквивалентными, если
Записывают: α(x) ~ β(x).




Слайд 37 4) α(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно

4) α(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно малой β(x),

малой β(x), если бесконечно малые α(x) и (β(x))k имеют

один порядок, т.е. если
где С∈ℝ  и C ≠ 0 .
ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).
Пусть α(x), β(x), α1(x), β1(x) – б.м. при x → x0. Если
α(x) ~ α1(x), β(x) ~ β1(x),
то
ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой).
Пусть α(x) и β(x) – б.м. при x → x0, причем β(x) – б.м. более высокого порядка чем α(x). Тогда
γ(x) = α(x) + β(x) ~ α(x) .
Б.м. α(x) называют в этом случае главной частью бесконечно малой γ(x) .



Слайд 38 Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и

Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их следствий можно

их следствий можно получить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций:















Слайд 39 Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции.

Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции. А именно, если


А именно, если f(x) и g(x) – бесконечно большие

при x → x0, то
1) f(x) называется бесконечно большой более высокого порядка чем g(x) если
2) f(x) и g(x) называются бесконечно большими одного порядка, если
где С∈ℝ  и C ≠ 0 ;
3) f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно большими (записывают: f(x) ~ g(x)), если
4) f(x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно большой g(x), если
где С∈ℝ и C ≠ 0 .





  • Имя файла: ponyatie-predela-funktsii.pptx
  • Количество просмотров: 229
  • Количество скачиваний: 2
- Предыдущая Всё о неравенствах
Следующая - Северный экономический район

Похожие презентации

Математическое путешествие Математическое путешествие 161
Презентация по алгебре. Свойства функций Презентация по алгебре. Свойства функций 158
Презентация по алгебре на тему Квадарт теңдеу (8 сынып) Презентация по алгебре на тему Квадарт теңдеу (8 сынып) 135
Презентация к уроку алгебры Решение неравенств методом интервалов Презентация к уроку алгебры Решение неравенств методом интервалов 173
Разложение квадратного трёхчлена на множители Разложение квадратного трёхчлена на множители 169
Тест по теме Проценты Тест по теме Проценты 176
Целые выражения Целые выражения 169
Координатная плоскость Координатная плоскость 133
Презентация по математике на тему Проценты Презентация по математике на тему Проценты 156
Примеры применения формул сокращенного умножения при решении уравнений и упрощение выражений Примеры применения формул сокращенного умножения при решении уравнений и упрощение выражений 188
Функции тангенса и котангенса Функции тангенса и котангенса 247
Показательная функция Показательная функция 80
Презентация и конспект урока алгебры в 7 классе Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений Презентация и конспект урока алгебры в 7 классе Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений 266
Презентация по математике на тему Применение логарифмов 10 класс Презентация по математике на тему Применение логарифмов 10 класс 170
Презентация урока по математике на тему: Метод алгебраического сложения (7 класс) Презентация урока по математике на тему: Метод алгебраического сложения (7 класс) 175
Отношения тождества, пересечения и подчинения Отношения тождества, пересечения и подчинения 157
Магия чисел Магия чисел 155
Независимые события, 11 класс Независимые события, 11 класс 283
Презентация на урок алгебры 7 класс тема Действия с многочленами Презентация на урок алгебры 7 класс тема Действия с многочленами 178
Презентация по математике на тему Решение дробных рациональных уравнений используя введение новой переменной 9 класс Презентация по математике на тему Решение дробных рациональных уравнений используя введение новой переменной 9 класс 196
Презентация Геометрическая прогрессия в экономике Презентация Геометрическая прогрессия в экономике 182
Логарифмы 11 класс Логарифмы 11 класс 164
Открытый урок по математике 10 класс на тему: Десятичный и натуральный логарифм Открытый урок по математике 10 класс на тему: Десятичный и натуральный логарифм 268
Презнтация к уроку Производная Презнтация к уроку Производная 178
Деление многочлена на многочлен Деление многочлена на многочлен 302
Презентация по алгебре по теме: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ( 10 класс) Презентация по алгебре по теме: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ( 10 класс) 223
Рациональные уравнения Рациональные уравнения 165
Комбинации Комбинации 149
Дробно-рациональные уравнения алгебра 9 класс Дробно-рациональные уравнения алгебра 9 класс 189
Презентация Задачи по комбинаторике (9 класс) Презентация Задачи по комбинаторике (9 класс) 191