Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Понятие предела функции

Содержание

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ1) словесный;2) табличный;3) графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)). График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)».4) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е.
Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ1) словесный;2) табличный;3) графический;	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место Классификация вещественных функций вещественного аргумента ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:1) степенные: y = xr (r∈ℝ)2) показательные: y = ax (a > 0, a ≠ 1)3) логарифмические: Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция вида Рациональной (дробной рациональной) Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции.Трансцендентными называют остальные элементарные функции. Основные характеристики поведения функции1) Четность функции (четная, нечетная, общего вида);2) Периодичность § Предел функции Определение предела функции по КошиПусть функция f(x) определена в Геометрическая интерпретация понятия предела функции Свойства пределовЕсли функция имеет предел при x → x0 , то этот предел единственный.2)	Если функция ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → x0 , если 3) ЛЕММА (о 5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x → x0 .	Тогда их сумма, 6) Пусть f(x) имеет предел при x → x0 и ∃δ>0 такое, что f(x) ≥ 0 9) 	Пусть f: X → Y , ϕ: Y → Z  и существуют пределы 	Тогда сложная функция Предел последовательностиОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел.	Если область Принято обозначать:		аргумент последовательности: n (или k)		значения функции: xn, yn и т.д. Называют: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если ∀ε>0 ∃N∈ℕ такое, что ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ  предела последовательности Пусть r∈ℝ,  M(r)∈Ox M(r) – геометрическая Из определения предела последовательности следует: если {xn}→a , то с геометрической точки зрения Число А называется пределом последовательности {xn} при n→∞, если   Пишут: nxn1246811Доказать:1±1/7n1246811 Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если    то Бесконечно большие функции Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0∈ℝ̄ Частные случаи бесконечно больших функций: 1) f(x) – б.б. при x → x0 и СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ 1) Если f(x) – б.б. при x → x0, то 5)	Если f(x) – б.б. при x → x0 , g(x) – имеет предел при Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если    Пишут: nxn10050246xn =n28C=9C=10011 Определение. Последовательность {xn} называется - возрастающей, если для любого n  xn Односторонние пределы.  Условие существования 3) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 слева равен +∞ ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования предела f(x) при x → x0  и x0∈ℝ). Определение предела функции|2x+5-7|=2|x-1| Определение предела функции (продолжение)1 Замечательные пределы Название замечательных пределов в математическом анализе получили следующие два утверждения: СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Замечание. Из формулы замены переменной ⇒ 1-й и Сравнение б.м. и б.б. функций Пусть функции α(x) и β(x) – б.м. 4)	α(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно малой β(x), если Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их следствий можно получить Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции. А именно, если f(x) ТЕОРЕМА (о замене бесконечно больших на эквивалентные).	Пусть f(x), g(x), f1(x), g1(x) –
Слайды презентации

Слайд 2 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1) словесный;
2) табличный;
3) графический;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ1) словесный;2) табличный;3) графический;	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое

y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x;

f(x)).
График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)».
4) аналитический:
а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) )
б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).


Слайд 3 Классификация вещественных функций вещественного аргумента

Классификация вещественных функций вещественного аргумента

Слайд 4 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:
1) степенные: y = xr (r∈ℝ)
2) показательные: y = ax

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ:1) степенные: y = xr (r∈ℝ)2) показательные: y = ax (a > 0, a ≠ 1)3)

(a > 0, a ≠ 1)
3) логарифмические: y = logax (a > 0, a ≠ 1)
4)

тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx
5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Слайд 5
Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция

Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция вида Рациональной (дробной

вида


Рациональной (дробной рациональной) функцией называют отношение двух многочленов


Иррациональными

функциями называют функции, полученные конечным числом арифметических операций над аргументом х и конечного числа композиций степенных функций с рациональным показателем.







Слайд 6
Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные

Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции.Трансцендентными называют остальные элементарные функции.

рациональные) и иррациональные функции.
Трансцендентными называют остальные элементарные функции.


Слайд 8 Основные характеристики поведения функции
1) Четность функции (четная,

Основные характеристики поведения функции1) Четность функции (четная, нечетная, общего вида);2)

нечетная, общего вида);
2) Периодичность функции;
3) Монотонность функции (возрастающая, убывающая,

неубывающая, невозрастающая);
4) Ограниченность функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная).

Слайд 9 § Предел функции
Определение предела функции по Коши
Пусть

§ Предел функции Определение предела функции по КошиПусть функция f(x) определена

функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0∈ℝ̄ ,

кроме, может быть, самой точки x0 .
U*(x0, δ) = U(x0, δ) \ {x0} – проколотая окрестность точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (по Коши, на языке ε-δ).
Число A∈ℝ называется пределом функции f(x) при x , стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), когда ∀ε>0 ∃δ>0 такое, что
если x∈U*(x0, δ) , то f(x)∈U(A, ε) .

Слайд 10




Геометрическая интерпретация понятия предела функции












Геометрическая интерпретация понятия предела функции

Слайд 11 Свойства пределов
Если функция имеет предел при x → x0 ,
то

Свойства пределовЕсли функция имеет предел при x → x0 , то этот предел единственный.2)	Если

этот предел единственный.
2) Если функция f(x) имеет предел при x → x0 ,

то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 (говорят: функция локально ограничена).



Слайд 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → x0 ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → x0 , если 3) ЛЕММА

если
3) ЛЕММА (о роли бесконечно малых функций).
Число

A∈ℝ является пределом функции f(x) при x → x0  ⇔ f(x) = A + α(x) , где α(x) – бесконечно малая при x → x0 .
4) Пусть f(x) – ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 , α(x) – бесконечно малая при x → x0 . Тогда f(x) ⋅ α(x)  – бесконечно малая при x → x0 .



Слайд 13 5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при

5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x → x0 .	Тогда их

x → x0 .
Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже

имеют предел при x → x0 , причем
Следствие свойства 5. Если f(x) имеет предел при x → x0 , то ∀c∈ℝ функция с ⋅ f(x) тоже имеет предел при x → x0, причем
Говорят: «константу можно вынести за знак предела».
Замечание. Свойство 5 и его следствие обычно называют теоремами о пределах.






Слайд 14 6) Пусть f(x) имеет предел при x → x0 и

6) Пусть f(x) имеет предел при x → x0 и ∃δ>0 такое, что

∃δ>0 такое, что f(x) ≥ 0 (или f(x) > 0), ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда


7) Пусть f(x) и g(x) имеют пределы при x → x0 и ∃δ>0 такое, что f(x) ≥ g(x) (или f(x) > g(x)), ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда
8) ЛЕММА (о двух милиционерах).
Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x → x0 и ∃δ>0 такое, что f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x) , ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда функция ϕ(x) тоже имеет предел при x → x0 , причем




Слайд 15 9) Пусть f: X → Y , ϕ: Y → Z и существуют

9) 	Пусть f: X → Y , ϕ: Y → Z и существуют пределы 	Тогда сложная функция

пределы
Тогда сложная функция ϕ(f(x)) имеет предел при x → x0

, причем
Формула (1) называется формулой замены переменной в пределе.




Слайд 16 Предел последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, заданная на

Предел последовательностиОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел.	Если

множестве натуральных чисел.
Если область значений последовательности – числовое множество,

то последовательность называют числовой, если область значений – множество функций, то последовательность называют функциональной.


Слайд 17 Принято обозначать:
аргумент последовательности: n (или k)
значения функции: xn,

Принято обозначать:		аргумент последовательности: n (или k)		значения функции: xn, yn и т.д.

yn и т.д.
Называют: x1 – первый член последовательности,

x2 – второй член последовательности и т.д.
xn – n-й (общий) член последовательности.
Способы задания последовательностей:
1) явно (т.е. формулой xn = f(n) )
2) рекуррентным соотношением
(т.е. формулой xn = F(xn-1, xn-2,…, xn-k) )
Записывают последовательность:
{ x1, x2, …, xn, …} – развернутая запись;
{ xn } – короткая запись (где xn  – общий член последовательности).

Слайд 18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если ∀ε>0 ∃N∈ℕ такое,

∀ε>0 ∃N∈ℕ такое, что
| xn – a | N.
Записывают:
Говорят:

последовательность { xn } сходится (стремится) к a.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к числу a)
Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.



Слайд 19 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности
Пусть r∈ℝ, M(r)∈Ox

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности Пусть r∈ℝ, M(r)∈Ox M(r) – геометрическая интерпретация


M(r) – геометрическая интерпретация числа r∈ℝ .
Пусть x0∈ℝ, ε>0.


Интервал (x0 – ε; x0 + ε) называют ε-окрестностью точки x0.
(геометрическое определение ε-окрестности точки)
Будем обозначать: U(x0, ε)
Имеем: U(x0, ε) = {x∈ℝ :  |x – x0| < ε}
(алгебраическое определение ε-окрестности точки)

Слайд 20 Из определения предела последовательности следует: если {xn}→a ,
то с

Из определения предела последовательности следует: если {xn}→a , то с геометрической точки

геометрической точки зрения
это означает,
что в любой ε-окрестности

точки a находятся все члены последовательности {xn},
за исключением, может быть, конечного числа членов этой последовательности. (Геометрическая интерпретация предела последовательности).
⇒ a – точка «сгущения» последовательности { xn }.



Слайд 21 Число А называется пределом последовательности {xn} при

Число А называется пределом последовательности {xn} при n→∞, если  Пишут: nxn1246811Доказать:1±1/7n1246811

n→∞, если Пишут:


n
xn
1
2
4
6






8





11


Доказать:

1±1/7
n
1
2
4
6
8
11


Слайд 22 Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если то

Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если  то есть если

есть если


n
xn
1
2 4 6 8

10 12 14 16





















ε=0,2

ε=0,1






Слайд 23 Бесконечно большие функции
Пусть функция f(x) определена в

Бесконечно большие функции Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки

некоторой окрестности точки x0∈ℝ̄ , кроме, может быть, самой

точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ε-δ).
Функцию f(x) называют бесконечно большой при x → x0 (в точке x0), если ∀M>0 ∃δ>0 такое, что
если x∈U*(x0, δ), то | f(x) |>M .
Говорят: «f(x) стремится к ∞ при x → x0»
«предел функции f(x) при x → x0 равен ∞».



Слайд 24 Частные случаи бесконечно больших функций:
1) f(x) –

Частные случаи бесконечно больших функций: 1) f(x) – б.б. при x → x0

б.б. при x → x0 и f(x) ≥ 0 , ∀x∈U*(x0, δ) .
Тогда

| f(x) | = f(x) >M , ∀x∈U*(x0, δ)
Записывают:
Говорят: «f(x) стремится к + ∞ при x → x0»
«предел функции f(x) при x → x0 равен + ∞».
2) f(x) – б.б. при x → x0 и f(x) ≤ 0 , ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда | f(x) | = – f(x) > M 
⇒ f(x) < – M, ∀x∈U*(x0, δ)
Записывают:
Говорят: «f(x) стремится к – ∞ при x → x0»
«предел функции f(x) при x → x0 равен – ∞».




Слайд 25 СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ
1) Если f(x) –

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ 1) Если f(x) – б.б. при x → x0,

б.б. при x → x0, то функция 1/f(x) – б.м. при

x → x0.
Если α(x) – б.м. при x→x0, то функция 1/α(x) – б.б. при x→x0.
(связь бесконечно больших и бесконечно малых)
2) Если f(x) и g(x) – б.б функции одного знака, то их сумма f(x) + g(x) – б.б. того же знака.
3) Если f(x) – б.б при x → x0 , g(x) – ограниченна в некоторой окрестности U*(x0, δ), то их сумма f(x) + g(x) – б.б. при x→ x0.
4) Если f(x) и g(x) – б.б. при x → x0 , то их произведение f(x) ⋅ g(x) – тоже б.б. при x → x0 .

Слайд 26 5) Если f(x) – б.б. при x → x0 , g(x)

5)	Если f(x) – б.б. при x → x0 , g(x) – имеет предел

– имеет предел при x → x0, причем
то их произведение f(x) ⋅ g(x)

– б.б. при x → x0 .
6) Если f(x) – б.б. при x → x0 и ∀x∈U*(x0, δ) имеет место неравенство | f(x) | < | g(x) | (| f(x) | ≤ | g(x) |),
то функция g(x) тоже является б.б. при x → x0 .
7) Пусть f(x) и g(x) – б.б. одного знака при x → x0 и ∃δ>0 такое, что f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x) , ∀x∈U*(x0, δ).
Тогда функция ϕ(x) тоже является б.б. того же знака при x → x0 .
(лемма о двух милиционерах для б.б. функций)



Слайд 27 Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если Пишут:

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если  Пишут: nxn10050246xn =n28C=9C=10011




n
xn
100
50
2
4
6
xn =n2






8




C=9



C=100
11




Слайд 28 Определение. Последовательность {xn} называется
- возрастающей, если для

Определение. Последовательность {xn} называется - возрастающей, если для любого n xn

любого n xn < xn+1; обозначают

(↑)
неубывающей, если для любого n xn ≤ xn+1; (↑)
убывающей, если для любого n xn > xn+1; (↓)
невозрастающей, если для любого n xn ≥ xn+1; (↓)

Определение. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными

Теорема Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности)
Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf {xn} ).

Предел монотонной последовательности


Слайд 29 Односторонние пределы. Условие существования

Односторонние пределы. Условие существования      (x0∈ℝ).Пусть f(x)

(x0∈ℝ).
Пусть f(x) определена

в некоторой окрестности точки x0∈ℝ , кроме, может быть, самой точки x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) Число A∈ℝ называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0 слева (в точке x0 слева), если ∀ε>0 ∃δ>0 такое, что если x удовлетворяет условию
0 < x0 – x < δ,
то f(x)∈U(A, ε) .
2) Число B∈ℝ называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0 справа, если ∀ε>0 ∃δ>0 такое, что если x удовлетворяет условию
0 < x – x0 < δ,
то f(x)∈U(B, ε).



Слайд 30 3) Говорят, что предел функции f(x) в точке

3) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 слева равен

x0 слева равен +∞ (–∞) (функция стремится к +∞

(–∞) при x, стремя- щемся к x0 слева), если ∀M>0 ∃δ>0 такое, что если x удовлетворяет условию
0 < x0 – x < δ,
то f(x) > M ( f(x) < –M).
4) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 справа равен +∞ (–∞), если ∀M>0 ∃δ>0 такое, что, если x удовлетворяет условию 0 < x – x0 < δ,
то f(x) > M ( f(x) < –M).
Обозначают:
– предел f(x) в точке x0 слева,
– предел f(x) в точке x0 справа.
Если x0 = 0, то пределы слева и справа обозначают:





Слайд 31 ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования предела f(x)

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования предела f(x) при x → x0  и

при x → x0  и x0∈ℝ).
Функция f(x) имеет предел (конечный)

при x → x0 ⇔ существуют конечные и равные между собой односторонние пределы функции f(x) при x → x0 . При этом


Замечание.
Все свойства пределов и бесконечно больших остаются справедливыми и для односторонних пределов.



Слайд 32

Определение предела функции









|2x+5-7|=2|x-1|

Определение предела функции|2x+5-7|=2|x-1|

если

f(x) называется
б. б., если


f(x) называется
б. б., если



Слайд 33

Определение предела функции (продолжение)




























1

Определение предела функции (продолжение)1

Слайд 34 Замечательные пределы
Название замечательных пределов в математическом анализе

Замечательные пределы Название замечательных пределов в математическом анализе получили следующие два

получили следующие два утверждения:

– первый замечательный предел;
– второй замечательный предел.
СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА







Слайд 35 СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА

Замечание. Из формулы замены

СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Замечание. Из формулы замены переменной ⇒ 1-й

переменной ⇒ 1-й и 2-й замечательный пределы и их

следствия остаются верными, если вместо x будет стоять любая б.м. функция α(x).






Слайд 36 Сравнение б.м. и б.б. функций
Пусть функции α(x)

Сравнение б.м. и б.б. функций Пусть функции α(x) и β(x) –

и β(x) – б.м. при x → x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) α(x) называется

бесконечно малой более высокого порядка чем β(x) если
Записывают: α(x) = o(β(x)) .
2) α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка, если
где С∈ℝ  и C ≠ 0 .
Записывают: α(x) = O(β(x)) .
3) α(x) и β(x) называются эквивалентными, если
Записывают: α(x) ~ β(x).





Слайд 37 4) α(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно

4)	α(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно малой β(x),

малой β(x), если бесконечно малые α(x) и (β(x))k имеют

один порядок, т.е. если
где С∈ℝ  и C ≠ 0 .
ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).
Пусть α(x), β(x), α1(x), β1(x) – б.м. при x → x0. Если
α(x) ~ α1(x), β(x) ~ β1(x),
то
ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой).
Пусть α(x) и β(x) – б.м. при x → x0, причем β(x) – б.м. более высокого порядка чем α(x). Тогда
γ(x) = α(x) + β(x) ~ α(x) .
Б.м. α(x) называют в этом случае главной частью бесконечно малой γ(x) .




Слайд 38 Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и

Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их следствий можно

их следствий можно получить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций:
















Слайд 39 Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции.

Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции. А именно, если


А именно, если f(x) и g(x) – бесконечно большие

при x → x0, то
1) f(x) называется бесконечно большой более высокого порядка чем g(x) если
2) f(x) и g(x) называются бесконечно большими одного порядка, если
где С∈ℝ  и C ≠ 0 ;
3) f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно большими (записывают: f(x) ~ g(x)), если
4) f(x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно большой g(x), если
где С∈ℝ и C ≠ 0 .






  • Имя файла: ponyatie-predela-funktsii.pptx
  • Количество просмотров: 222
  • Количество скачиваний: 2