Презентация на тему Общие методы решений тригонометрических уравнений

решаются
Заменой переменной;
Разложением на множители;
Делением на старшую степень синуса

или косинуса, т. е. как однородные;
Понижением степени;
С помощью формул суммы или разности;
Методом вспомогательного аргумента.
С помощью формул произведения;
Методом универсальной подстановки;

2.sin²x + cos²2x = 3/2.
3.cosx·sin7x = cos3x·sin5x,
4.sin²x -

2sinx – 3 = 0,
5.√2 cosx – sinx = 0,
6.sinx + sin3x = sin5x – sinx,
7.sinx – sin2x + sin3x – sin4x = 0,
8.3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0,
9.sin²x - √3/3 sin2x = cos²x,
10.sinx + cosx = 1,
11. sinx + sin ²x + cos x=0

каких значениях параметра а уравнения имеют решения:
sinх + 2

cosx = а,
sin ²x + 3sinx cosx - 2cos²x = а,
sin2х = -3а² + 6а – 4

При каких значениях параметра а уравнения не имеют решений.

2tg²х + 5tgх + а = 0,
sin ²x – 2(а – 3) sinx + а² - 6а + 5 = 0

4, 8.
sin²x - 2sinx – 3 = 0
пусть sinx

= t,
тогда t²+ 2 t – 3 = 0,
где t = -3; 1.
Учитывая, что
lsinхl≤1,
а -3<-1,
имеем sinx = 1,
Х =¶ /2+2¶n, n Є Z.
Ответ: ¶ /2+2¶n, n Є Z.

3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0
sin²x = 1 - cos²x,
значит,
3 - 3cos²x + 2cos²x +2cosx = 0,
cos²x - 2cosx – 3 = 0,
пусть cosx = t,
тогда t²- 2 t – 3 = 0,
где t = 3; -1
3>1, ЗНАЧИТ,
cosx = -1,
Х = ¶ + 2¶n, n Є Z.
Ответ: ¶ + 2¶n, n Є Z.

9.
2sin ²x - 5cos²x = 3sinx cosx
Разделив каждое

слагаемое на cos²x,получим.
2tg²х - 3tgх - 5 = 0,
Пусть tgх = p, тогда 2p² - 3p - 5 = 0, где p = 2,5; -1,
tgх =2,5, х = arctg2,5 + ¶n, n Є Z;
tgх = -1, х =¶/4 +¶n, n Є Z.
Ответ: arctg2,5 + ¶n, n Є Z; ¶/4 +¶n, n Є Z.

9.
√2 cosx – sinx = 0l׃ cosx, cosx≠0,

tgх =

√2, х = arctg√2 + ¶n, n Є Z

ответ: arctg√2 + ¶n, n Є Z

9.
sin²x - √3/ 3sin2x = cos²x l׃ cos²x,

cosx≠0
tg²х - √3/3 tg x- 1=0,
tgх = √3/6(1 ± √13),
х = arctg √3/6(1 ± √13)+ ¶n, n Є Z;
ответ: arctg √3/6(1 ± √13)+ ¶n, n Є Z

+ cos²2x = 3/2

sin²x + ½(1 +cosx) =3/2,
2 sin²x + 1 +cosx -3 = 0,
2 - 2 cos²x + 1 +cosx -3 = 0,
2 cos²x - cosx = 0,
cosx(2 cosx – 1) = 0,
cosx = 0 или cosx =1/2
Х = ¶/2 + ¶n, n Є Z или Х = ±¶/3 + 2¶n, n Є Z.
Ответ: ±¶/3 + 2¶n, n Є Z; ¶/2 + ¶n, n Є Z.

6. 7.
sinx + sin3x = sin5x – sinx

2 sin2x cosx - 2 sin2x cos3x = 0,
sin2x (cosx - cos3x) = 0,
sin²2x sinx = 0,
sin2x = 0 или sinx = 0,
Х = ¶/2 n, n Є Z или Х = ¶n, n Є Z.
Объединив множества,
получим, Х = ¶/2 n, n Є Z
Ответ: ¶/2 n, n Є Z

asinx ± bcosx к виду √a² + b² sin(x±φ),

где φ = b/√a² + b² решается уравнение 10.

sinx + cosx = 1.
Учитывая, что a= 1, b = 1, получим уравнение
√2 sin(x+φ) = 1, где φ = arcsin√2/2,
sin(x+¶/4) = √2/2,
х = -¶/4 + (-1) ¶/4+¶ n, n Є Z.
Ответ: -¶/4 + (-1) ¶/4+¶ n, n Є Z.

имеют решений.
х + 2х sinά - cos² ά

+ 2 sinά= 0,
ά Є (-¶/2;¶/2)
Уравнение не имеет решений,
если 1/4D < 0, т. е. при условии
sin²ά + cos² ά + 2 sinά < 0,
sinά > ½, откуда,
учитывая условие
ά Є (-¶/2;¶/2),
получаем ά Є (¶/6;¶/2).
Ответ: ά Є (¶/6;¶/2).