Презентация на тему Свойства функций

значение функции равно 0 .
При х=-3 и х=3 f(x)=0
Это

нули функции

3

-3

2

обращается в нуль, называют нулями функции.

По графику найдите остальные

нули функции

Где в координатной плоскости находятся точки графика, абсциссы которых являются нулями функции?

функция?

промежутки


В каждом из этих помежутков функция принимает либо только

положительные значения, либо только отрицательные. Это промежутки знакопостоянства

3

-3

2

направо, то ординаты точек графика всё время увеличиваются («поднимаемся

в горку»);
говорят, что функция возрастает;
если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек графика всё время уменьшаются («спускаемся с горки»);
говорят, что функция убывает.

у

х

о

y=f(x)

y

x

o

y=f(x)

Функция возрастает, если большему (меньшему) значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция убывает, если большему (меньшему) значению аргумента соответствует меньшее (большее) значение функции.

промежутке Х, если из неравенства х1 < х2, где

х1 и х2 – любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х1) < f (х2).

Определение 2.

Функция у = f (х) называют убывающей на промежутке Х, если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2 – любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х1) > f (х2).

у

х

у

х

о

о

х1

х2

х1

х2

f (x1)

f (x2)

f (x2)

f (x1)

Теорема.
1. Если k > 0, то функция

возрастает на всей числовой прямой.
2. Если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой.

у

х

о

у=kx+m,k>0

у

х

о

у=kx+m,k<0

f (x) = kx + m.
1) Если х1

< х2 и k > 0, то kx1 < kx2 (по свойству 3).
2) Прибавим к левой и правой части неравенства число m:
kx1 + m < kx2 + m (по свойству 2), т.е. f (x1) < f (x2).
3) Итак, если х1 < х2 ,то f (x1) < f (x2), значит функция у = kx + m возрастает.
2. Пусть у = f (x), где f (x) = kx + m.
1) Если х1 < х2 и k < 0, то kx1 > kx2 (по свойству 3).
2) Прибавим к левой и правой части неравенства число m:
kx1 + m > kx2 + m (по свойству 2), т.е. f (x1) > f (x2).
3) Итак, если х1 < х2 , то f (x1) > f (x2), значит функция у = kx + m убывает.
Замечание. Если функция возрастает (убывает) по всей своей области определения, то её можно назвать возрастающей(убывающей), не указывая промежуток.

х ∈ [0,+∞)
0 ≤ х1 < х2 =>

< (по свойству 6), т.е. f(x1) < f(x2).
Итак, если х1 < х2, то f (x1) < f (x2), значит функция у=х2 возрастает на луче [0,+∞).

2. у = х2, х ∈(-∞,0]
х1 ≤ 0, x2 ≤ 0 и х1 < х2, тогда – х1 > – х2 (по свойству 3), но –х1 ≥ 0, – х2 ≥ 0
Тогда ( - х1)2 > ( - х2)2, т.е. > .
Итак, если х1 < х2, то f (x1) > f (x2), значит функция у=х2 убывает на луче (-∞,0] .

х
о
у

Пусть у = f (x), где

, x ∈(0,+∞)
0 < x1 < x2 => > , т.е. f (x1) > f (x2)

Итак, если х1 < х2, то f (x1) > f (x2), значит функция убывает на открытом луче (0,+∞)

2. Пусть у = f (x), где , х ∈(- ∞,0)
x1 < 0, x2 < 0 и x1 < x2, тогда – x1 > – x2 =>
< => > , т.е. f (x1) > f (x2)

Итак, если х1 < х2, то f (x1) > f (x2), значит функция убывает на открытом луче (- ∞;0)

у = kx + m
D (f) = (-∞;+∞)
E (f)

= (-∞;+∞)
Монотонность

m

m

.

(-∞;0)∪(0;+∞)
Монотонность


k > 0
k < 0
Функция убывает на промежутках

(-∞;0) и (0;+∞)

Функция возрастает на промежутках (-∞;0) и (0;+∞)

х

х

у

у

0

0

(-∞;+∞)


k > 0

k < 0

x

y

0

3. Промежутки монотонности

убывает на луче (-∞;0], возрастает на луче [0;+∞)

2. Е (f) = [0;+∞)

2. Е (f) = (-∞;0]

x

y

0

убывает на луче [0;+∞), возрастает на луче (-∞;0]

функции.






Назовите промежутки знакопостоянства

функции и перечислите ее свойства: у=4х+8
Вариант2
1.Найти область определения функции



2.Найти

нули функции




3.Построить график функции и перечислите ее свойства: у=-3х+6