Презентация на тему Теорема Эйлера и правильные многогранники. Применение теоремы Эйлера к решению задач

по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных

наук
Л. Кэрролл

геометрии, теории чисел и алгебры
Применять теорему Эйлера к решению

задач
Развить представления о многогранниках и мире

картине мира Платона
Кубок Кеплера
Икосаэдро–додекаэдровая структура Земли

Марса
Додекаэдр
Сфера орбиты Земли
Икосаэдр
Сфера орбиты Венеры
Октаэдр
Сфера орбиты Меркурия

грани имеют одинаковое число сторон (m) и все его

вершины имеют одинаковую степень (n).

Будем считать, что Комбинаторно правильный многогранник имеет тип (m, n), если каждая его грань является m–угольником, а степень каждой вершины равна n.

Зная, что m, n = или 3, или 4, или 5, отсюда следует то, что может существовать девять различных пар (m,n):

(3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (4,5) (5,3) (5,4) (5,5)

B, P и Г, получаем:
Так как В,Г,Р >0

отсюда следует, что 2m+2n-mn>0 или :
(m-2)(n-2)<4

удовлетворяют только следующие пять:
(3, 3), (4, 3), (3, 4),

(5, 3), (3, 5).

Таблица 4

мяч шьется из кусков кожи двух типов: пятиугольных и

шестиугольных (которые, кроме формы, отличаются еще и цветом). Можно ли сшить мяч из одних только шестиугольных кусков?
Решение:
Мяч можно рассматривать как сферу, разбитую на сферические грани — многоугольники. При этом выполнены соотношения : B – P + Г = 2; Г = Г3 + Г4 + Г5 + ... ; B = B3 + B4 + ... Bm ; 2P = 3B3 + 4B4 + 5B5 + ... ; 2P = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + ...
и все следствия из них, в частности, неравенство:
3Г3 + 2Г4 + Г5 ≥ 12.

 

из шестиугольных кусков.
Ответ: нет, нельзя.
Задача  2. Если все

грани многогранника – треугольники, то число граней четное. Кроме того, в этом случае P = 3B – 6, Г = 2B – 4.
Решение:
Из условия задачи и из равенства 2P = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + ...  имеем 2P = 3Г, откуда следует первое утверждение. Исключая из равенств B – P + Г = 2 и 2P = 3Г сначала Г, затем P, получим требуемые равенства:
P = 3B – 6, Г = 2B – 4.

касающейся всех ребер правильного многогранника

площадь правильного пятиугольника

tg 36° в радианах:

перпендикулярен плоскости (О1О2О), ∠О1ВО2 — линейный угол двугранного угла

с ребром А1А2, ВО — его биссектриса.

ОО1= ОО2=r, ВО1= ВО2=r0, где r0 — радиус окружности, вписанной в грань. Тогда



очевидно (из треугольника О1ОВ).

Найдем r :

А2М ⊥ А3А4. ∠А1МА2 = ϕ — искомый, А1М — расстояние

от вершины А1 до стороны А3А4. М1 — середина А1А2 и так как треугольник А1МА2 — равнобедренный, то

∠А1ММ1 =

Но d = 2a cos36° ,то есть
A1M1=d/2=a cos36°=a(1+√5)/4.

Из прямоугольного треугольника А1МА3 имеем А1М = А1А3 sin72°.

:
Осталось найти

:

форме напоминает икосаэдр. Такая форма помогает феодариям преодолевать давление

водной толщи.

правильных многогранников
Топология – теорема Эйлера – геометрия
Применение при решении

задач
Неживая природа – правильные многогранники – живая природа

2010.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б. Кардомцев и др.

Геометрия: учебник для 10-11 кл. общеобр. учр.- М.: Просвещение, 2012.
3. http://virlib-old.eunnet/
4. http://school.techno.ru
5. http://tmn.fio.ru