Презентация на тему Теория вероятности и статистика

следует, что она ум в порядок приводит».

Давид Гильберт:
«Математика –

изучающая закономерности случайных событий.
Математическая статистика – это наука об

отлив, восход и закат солнца.

Становление теории вероятностей относится к

Случайное событие.

Реализация случайного события возможна в ходе случайного эксперимента

простые события.  

Те события, которые нельзя разбить на другие

– это событие, которое обязательно произойдёт в данном случайном

AUB или суммой двух событий (A+B) называется новое событие,

называется новое событие, состоящее в одновременном наступлении всех этих

реализации случайного события.
Примем Р(Ω)=1; Р(Ø)=0.
Все прочие возможные значения вероятности

в неизменных условиях.

Пусть выполнено большое число экспериментов n и

n A / n.

случайные события с бесконечным числом равновозможных элементарных исходов.

Геометрической вероятностью

задач выбора и расположения элементов конечного множества в соответствии

§ 6. Элементы комбинаторики

Пусть имеется набор из n элементов.

Отличающиеся друг от друга порядком наборы, составленные из всех элементов данного множества, называются перестановками этого множества.


Обозначение:

различных элементов, содержащие k элементов, отличающиеся либо

урне имеется N шаров, из них М - белых

Рассмотрено также обобщение урновой модели.

события А и В происходят на одном и том

событий вероятность объединения событий определяется формулой:





Для несовместных событий вероятность

на произвольное число совместных событий:

определяется формулой :
Р(А∩В)=Р(А)·Р(В/А)= Р(В)·Р(А/В).

Следствие:
если события А и В –

полной группой событий, если они попарно несовместны и их

исходные (априорные) вероятности гипотез после получения сведений о том,

тех же условиях проводится n повторных независимых испытаний, в

А в каждом испытании равна р , то вероятность

которого наибольшая по сравнению с вероятностью наступления успехов любое

Теорема:
Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами :



Заметит, что разность между (n·p – q) и (n·p + p) равна 1.
Число К0 ≈ n·p.
Иногда бывает, что К0 (1) = (n·p – q) – целое число, тогда и К0 (2) = (n·p + р) – целое число. В этом случае имеются два наивероятнейших числа, для которых вероятности принимают самые большие и одинаковые значения: Р (К0 (1) ) = Р (К0 (2) ) .

(з.р.).
Случайная величина обозначается заглавной буквой Х (если случайных величин

и непрерывные.


Закон распределения случайной величины – это правило,

Х – числа выпадений герба при трехкратном бросании правильной

может быть представлена в виде:



(здесь t – переменная

F(x)
1







0 x

величин, ибо она полностью содержит всю информацию, которая нужна

дисперсия, стандартное отклонение; их свойства.
Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую

быть сходящимся. Возникают иногда ситуации, когда ряд расходится. Тогда

:






Математическое ожидание уже не является случайной величиной. Это постоянная

Рассмотрены свойства математического ожидания.

не дает представление о разбросе возможных значений случайной величины,

Определение:
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее теоретического центра:

называется



Дисперсию можно записать символом как символом DX, так и

наблюдений. Далее найдем среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего

Именно эта формула применяется для практического вычисления дисперсии на основе результатов наблюдений (в действительности знаменатель формулы несколько меняют – вместо n используют (n-1)).

СВ, распределенной по закону Бернулли (биномиальному закону):

особенности данного конкретного распределения.
Введем некоторые них.

Определения:
Квантилем уровня р

величин.
Дискретные случайные величины:

Для ДСВ наиболее часто используется биномиальный закон

и самостоятельное значение, когда в задаче рассматривается поток событий,

события А в каждом испытании постоянна (0

на отрезке [a, b], если ее плотность распределения постоянна

с параметром λ, если ее плотность распределения имеет вид:

В показательном законе смысл параметра λ тот же самый, что и в законе Пуассона – среднее количество событий за единицу времени.

связь:
Количество событий за любой фиксированный промежуток времени имеет распределение

Поток событий, для описания которого справедливы упомянутые распределения, должен быть подчинен определенным ограничениям для того, чтобы его поведение можно было описать такими простыми формулами.

Эти ограничения потока событий таковы:

Стационарность (интенсивность потока событий λ не зависит от времени);
Отсутствие последействия (количество событий, попадающих на данный промежуток времени, не зависит от числа событий, попадающих на другой промежуток времени, не пересекающийся с данным);
Ординарность (вероятность попадания на малый промежуток времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на этот же малый промежуток времени одного события).

он одновременно обладает свойствами 1, 2, 3.
Эта модель

сохраняет постоянное значение, равное единице, при любых изменениях σ.

с m=0 и σ=1.

Обозначение: Z ~ N(0;1).
Плотность

в заданный интервал:







Справедлива формула:



На основе этой формулы может быть

Если случайная величина распределена нормально, то ее отклонение от математического ожидания практически не превосходит утроенного стандартного отклонения.

X ~ N(m;σ), то СВ Y=aX+b также

величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое

Предельные теоремы теории вероятностей.

Теорема (неравенство Чебышева):

Если случайная величина Х имеет математическое ожидание ЕХ и дисперсию DX, то для любого ε > 0 справедливо неравенство:

по вероятности:

дисперсии n независимых случайных величин Х1 , Х2,…, Хn
ограничены

независимые случайные величины Х1 , Х2,…, Хn имеют одинаковые

испытаний, в каждом из которых событие А может произойти

зависимые случайные величины ( это обобщение принадлежит Маркову А.А.):

Если

Интегральная теорема Муавра-Лапласа как следствие ЦПТ.


Эта теорема утверждает, что

Xn – независимые случайные величины, для каждой из которых

Пусть имеется система случайных величин (СВ), причем эта система

правой части этого соотношения.

С целью экономии времени изложение выполним

распределения может быть представлена в виде:








Для функции f(x,y), которая

независимы события {X

коэффициент корреляции.

Если случайные величины зависимы, влияют на поведение

связей между X и Y. Ковариация отслеживает наличие только

равен нулю. Случайные величины называются коррелированными, если их коэффициент

на практике используется линейный коэффициент корреляции Пирсона:

порядковыми случайными величинами.
Если n объектов совокупности пронумеровать в

корреляции следует брать среднее арифметическое рангов, приходящихся на данные

параграфов заново.

§ 1. Случайные выборки. Первичная обработка статистических данных.

свойства (говорят, признака) совокупность объектов.
Та часть объектов, которая отобрана

элементы ГС), она должна быть отобрана случайно. Случайность отбора

значений (вариантов) с соответствующими им частотами.











Данный вариационный ряд носит

в выборке велико или признак имеет непрерывную природу, т.е.

признак в ГС подчиняются нормальному з.р., для вычисления количества

визуальное представление об основных свойствах экспериментальных данных в целом.

представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными

что случайная величина принимает значение меньше заданного:

некоторыми сводными характеристиками вариационных рядов.
Эти обобщающие показатели в

ранжированного ряда наблюдений.
Иначе: это то значение варианта, которое делит

выборке.
Иначе:
Мода - то значение варианта, которому соответствует

Нам важно знать не только средние значения вариантов, но и отличие значений вариантов от среднего значения. Для отражения изменчивости (вариации) значений признака вводят различные показатели вариации ряда.

Простейшим и весьма приближенным показателем вариации является размах выборки R = xmax - xmin .

отклонений вариантов от их среднего арифметического:
При вычислении выборочной

называя ее просто «выборочная дисперсия». Ясно, что при большом

Эта величина характеризует, насколько сильно элементы в выборке и, следовательно, в ГС отличаются друг от друга.

в общем виде – задачу отыскания хороших (доброкачественных) приближений

Определение:
Точечной оценкой неизвестного параметра θ теоретического закона распределения называют всякую функцию результатов наблюдений над СВ X, значение которой принимают в качестве приближённых значений параметра θ :

свойства точечных оценок):

Несмещённость.

Оценка параметра θ

θ называется состоятельной, если она удовлетворяет ЗБЧ:



В последнее время

и являющееся точечной оценкой генерального среднего (истинного значения параметра),

оценка:






В формулах для S2 и KXY возникает новый

совокупности.

Основное внимание уделим методу, который наиболее часто применяется для

аргумента θ (искомого параметра)






В качестве точечной оценки параметра θ

законе распределения Пуассона




Методом наибольшего правдоподобия найдена оценка вероятности успеха

θ (искомого параметра)




Здесь x1, x2, …, xn - фиксированные

наибольшего правдоподобия дает естественные оценки, не противоречащие здравому смыслу.
Усилиями

на основе этих распределений.

§ 4. Распределения, связанные с нормальным

χ2 (k) = X12+ X2 2 + …+Xk 2

имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы.
Значения этого распределения затабулированы.

Y, X1, X2, …, Xk независимые и каждая из

- научиться отыскивать границы интервала, который накроет истинное значение

выполнено:

Величина ε называется «точность оценки» (или: «предельная ошибка выборки»).

Формулы,

распределенной ГС, если известна дисперсия σ2 для ГС.

Пусть изучаемый

если дисперсия σ2 для ГС неизвестна.

Теперь вместо неизвестной дисперсии

(С помощью таблица «Критические точки распределения Стьюдента» по заданным значениям α (двусторонняя критическая область) и k=n-1 находим tкр - квантиль распределения Стьюдента).

основе распределения Стьюдента;
При n>30 (большие выборки) следует находить tкр

найти объем выборки, которая обеспечит эту требуемую точность:
3. Интервальная

определяются неоднозначно при одном и том же значении заштрихованной

оценка истинного значения вероятности биномиального закона распределения (генеральной доли).

Рассмотрим

; например, от 200 и более).

Формулы для вычисления границ

случае для вычисления Sw используется формула





Доверительный интервал определяется по

Замечание:

В литературе часто приводят упрощенный способ вычисления доверительного интервала, рассматривая только большие и малые выборки. В этом случае выделяют два пункта при вычислении доверительного интервала:
Большая выборка (n более 30) - вычисление ведут по пункту Б.
2) Малая выборка (n меньше или равно 30) – вычисление ведут по пункту В.

гипотезы. Критерий. Критические области и область принятия нулевой гипотезы.
Гипотеза

нулевую гипотезу отвергают.
Это такие значения критерия, которые не характерны

гипотезу Н0 и альтернативную гипотезу Н1 на основе выборочных

α=1-γ.
α носит название «уровень значимости»(α=0.10;0.05;0.01).

4. Вычисляют значение критерия

область неестественных значений и мы, следовательно, отвергаем гипотезу Н0

>θ0

ожидания m (генеральной средней ) нормально распределенной

Дисперсия ГС известна (или n>30)

Считаем, что в ГC изучаемый признак Х распределен нормально, причем мат. ожидание неизвестно, но есть основание полагать, что оно равно какому-то определенному значению m0.
В этом пункте считаем, что дисперсия σ2 в ГС известна либо из предшествующего опыта, либо же вычислена на основе данного опыта, но по выборке большого объема (по большой выборке можно получить весьма хорошее приближение для истинной дисперсии в ГС на основе рассчитанной по выборке выборочной дисперсии).
Поставим задачу следующим образом:
Н0: m= m0
Н1: m≠ m0.

критическую область.
Из условия P(|t|< tкр )= γ=2Ф0(tкр) с

значение tнабл таково, что |tнабл|< tкр, то

tнабл ≥ tкр, то отвергаем нулевую гипотезу и принимаем

аппроксимации значения генеральной дисперсии σ2 . Формулы полностью сохраняются,

доверительным интервалом

Отыскивая двустороннюю критическую область мы проделывали совершенно такие

Область принятия нулевой гипотезы и доверительный интервал совпадают.

Можно сделать следующий вывод:
Если предполагаемое в основной гипотезе числовое значение m0 неизвестного параметра попадает в доверительный интервал этого параметра, отвечающего заданному уровню доверия γ, то гипотезу Н0 принимаем, в противном случае ее отклоняем и принимаем альтернативную гипотезу Н1.

p биномиального закона распределения (о числовом значении генеральной доли

Требуется при заданном уровне доверия γ проверить нулевую гипотезу H0: p = p0
Альтернативная гипотеза может быть трех видов
H1 : p ≠ p0 (p < p0 ; p > p0)

Здесь мы будем рассматривать только случай умеренно больших (от 30 до нескольких сотен) и больших (более нескольких сотен) выборок, т.е. n>30.
Используется критерий

(генеральных средних) двух нормально распределенных ГС.
Пусть имеются две нормально

и σ2 либо из предыдущего опыта (и тогда

Далее в конкретных примерах в зависимости от конкурирующих гипотез выстраивают критические области, вычисляют наблюдаемое значение критерия и смотрят, попадает ли это значение в область правдоподобных значений критерия при справедливости нулевой гипотезы или же, напротив, в область неправдоподобных значений критерия. И в зависимости от этого принимают или же отвергают нулевую гипотезу, т.е. реализуют обычный алгоритм проверки гипотезы.

распределения (о равенстве долей признака) двух генеральных совокупностей.

Рассмотрим две

доли) в которых равны соответственно p1 и p2 .

выражение критерия t, берут ее наилучшую оценку:





tкр находится на

В качестве критерия используется случайная величина:

Пирсона.
Рассматривается двумерная нормально распределенная генеральная совокупность (X,Y), т.е. случайные

связи в ГС, а альтернатива заключается в предположении о

величина



Показано, что эта СВ при справедливости нулевой гипотезы

проверке коэффициента корреляции Спирмена поступают совершенно аналогично тому, как

выяснения значимости коэффициента корреляции нужны специальные таблицы, которые приводятся

значений параметров распределения, и поэтому на основе этого критерия

§12. Критерий знаков.

эти выборки проранжированы:

случайная величина, распределенная по биномиальному з.р. с параметрами n

испытаний и подсчитывают число положительных и отрицательных разностей ri

видом альтернативной гипотезы H1:

а)
б)

4. Вычисление критерия W(n;k) проводят при малых выборках (n≤30). При больших выборках (n>30) биномиальный з.р. переходит в нормальный з.р. , поэтому при n>30 обычно вводят иной критерий, ибо вычисления по нему существенно упрощаются. Этот критерий t при справедливости гипотезы H0 имеет стандартный нормальный з.р.:

измеряемые в количественных шкалах - в этом случае для

До сих пор не рассматривались ситуации, когда возникает необходимость изучить связи таких признаков, как профессия, и, допустим, политические убеждения, или уровень образования и политические убеждения, и тому подобное.
Возникает новое понятие номинальных признаков и номинальных (неметрических) шкал измерений.
В этом случае объекты группируются по различным классам так, чтобы внутри класса они были идентичны по измеряемому свойству. Следует научится выявлять наличие или же отсутствие связи между номинальными признаками и научиться количественно оценивать тесноту связи между ними, если она будет выявлена.

признаки статистически независимы, тогда введем две гипотезы:

А и В.

(j=1,2,…,s)
nij - частота события Ai∩Bj – это количество объектов,

можно признать справедливой.

Если же равенства (*) плохо выполняются, то

Сопоставим наблюдаемые Н и теоретические частоты Т:
Мера согласия опытных данных с теоретической моделью:






Суммы берется по всем ячейкам таблицы сопряженности.

Для ответа на вопрос, что такое большое значение случайной величины Х2, надо знать распределение этой СВ. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

на основе которой рассчитаны теоретические частоты Т, то при

СВ Х2 , поэтому использовать его как приближение для

критические значения распределения χ2, соответствующие выбранному уровню значимости.

Здесь всегда

«фи»





Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона

контрольной работы !!!!!!!!!!!!