Презентация на тему к уроку алгебры 11 класс по теме Степенные функции

работать с числами с рациональным показателем степени.
На этом

уроке мы рассмотрим степенные функции и ограничимся случаем, когда показатель степени рациональный.
Мы будем рассматривать функции вида:




Рассмотрим сначала функции, у которых показатель степени больше одного.

мы дали на прошлом уроке x≥0, то есть область

определения нашей функции луч [0;+∞).




Давайте, сравним три степенных функции


Число 2,5 лежит между 2 и 3, тогда кажется, что и график нашей функции будет лежать между соответствующими графиками, сравним значения функций при различных х.
1. Если 0 или
2. Если x>1, то но и выполняется
или

рисунке:
На первом рисунке построим графики для случая 0

нашем графике показыны функции

Синим

Красным

Зеленым

функции

Цвет графиков такой же как и на предыдущем

рисунке.

График функции


– кривая, проходящая через точки (0,0) и (1,1) и похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель, тем круче вверх уходит график функции.

ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на [0;+∞).
4. Не ограничена

сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение равно нулю.
6. Непрерывна.
7. E(f)=[0; +∞).
8. Выпукла вниз.

дробь (то есть когда числитель меньше знаменателя).
График функции

похож на график функции
Давайте схематично изобразим наш график функции.

Свойства функции :
1. D(y)=[0;+∞)
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на [0;+∞).
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение равно нулю.
6. Непрерывна.
7. E(f)=[0; +∞).
8. Выпукла вверх.

трудно догадаться, что наш график будет иметь схожий вид

с гиперболой. График имеет две асимптоты: горизонтальную y=0 и вертикальную х=0. Давайте схематично изобразим наш график:

Свойства функции :
1. D(y)=(0;+∞)
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Убывает на (0;+∞).
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение равно нулю.
6. Непрерывна.
7. E(f)=(0; +∞).
8. Выпукла вниз.

важное свойство – дифференцируемость функции. Чему равна производная степенной

функции с рациональным показателем?
Определение. Если x>0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции
вычисляется по формуле:



Например:

[1;16] б) (2,10) в) на луче [9;+∞)
Решение.
Показатель степени нашей

функции положительный, тогда посмотрев на свойства нашей функции мы видим, что она возрастает на всей области определения, а это значит, что достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах заданных отрезков (если она определена в этих точках)
а)

б) Наибольшего и наименьшего значения функции на этом промежутке нет, так как нам дан открытый промежуток, и точки 0 и 4 этому промежутку не принадлежат.
в)Наибольшьего значения нет.

функции

на отрезке [1;9].
Решение.
Ребята, вы помните как мы находили наибольшее

и наименьшее значение функции на отрезке в 10 классе? Правильно, мы использовали производную, давайте решим наш пример, заодно и повторим алгоритм поиска наименьшего и наибольшего значения.
1. Найдем производную заданной функции:

2. Производная существует на всей области определения исходной функции, тогда критических точек нет.
Найдем стационарные точки:

Заданному отрезку принадлежит только одно решение
Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:


Ответ:

а график функции у=24-х убывает, ребята мы с вами

знаем, если одна функция возрастает, а другая убывает, то они пересекаются только в одной точке, то есть у нас с вами только одно решение.
Заметим:



То есть при х=8 мы получили верное равенство 16=16, это и есть решение нашего уравнения.

Ответ: х=8.

из графика функции


смещением его на 3 единицы вправо

и 2 единицы вверх.

х=1.
Решение. Уравнение касательной определяется известной нам формулой:
В нашем случае

a=1.

Найдем производную:

Вычислим:


Найдем уравнение касательной:


Ответ: