Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Доказательство неравенств

Содержание

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Приемы доказательства неравенств, содержащих переменныеАвтор: Жагалкович Полина СергеевнаУчебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-АмуреАдрес Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых x 2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно, что Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для любых для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство. Рассмотрим Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.Пример *33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли Рассмотрим каждое Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство. Запишем Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство. Положив х=0,5 и применив Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
Слайды презентации

Слайд 2 Если вы хотите участвовать в большой жизни, то

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову

наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.

Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Слайд 3 Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть

слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1.

Доказать что для любого хϵR

Доказательство. 1 способ.

2 способ.


для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.

для хϵR

для хϵR

для хϵR т. к.

Слайд 4 для любых действительных х и у
Пример 2. Доказать,

для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых

что для любых x и y

Доказательство.


Пример 3. Доказать,

что
Доказательство.

Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.


Слайд 5 2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного

2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что

метода.
Доказать, что

для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что .
Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Слайд 6 Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно,

справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для

неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:
, что является обоснованием исходного неравенства.

Слайд 7 Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для

и С, для которых выполняется неравенство






, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Слайд 8 для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на

для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного

свойстве неотрицательности квадратного трехчлена ,

если
и .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть , a=2, 2>0
=>

Слайд 9 для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных

для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у

х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую

часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D<0
D= => P(x)>0 и
верно при любых действительных значениях х и у.


Слайд 10 Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х

Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть

и у.
Доказательство. Пусть ,


Это означает, что для любых

действительных у и неравенство
выполняется при любых действительных х и у.

для хϵR

Слайд 11 Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9.

Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для

Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z



Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,
.


Получаем исследуемое неравенство

Слайд 12 для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых

для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство.

а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то

верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
( )* ( )>0, что доказывает неравенство

Слайд 13 Пример 11. Докажем, что для любых

Доказательство.


на

Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если

R.
Если , то знаки чисел

и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Слайд 14 Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства

Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных

неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого

nϵN

Проверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)

Слайд 15 *3
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.


Сравним

*33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним и

и

: ,

Имеем:


Вывод: утверждение верно для любого nϵN.



Слайд 16 Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши

Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли Рассмотрим

– Буняковского
Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.




Слайд 17 Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше

неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического

, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

Слайд 18 Пусть n=2, ,

Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, тогдаПусть n=3,

, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, ,

, , тогда

Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.

Слайд 19 Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает,

Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых

что для любых ; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет

геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Слайд 20 Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство.

R справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это

заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
 

Слайд 21 Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то

Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных

для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться

для выражений вида


Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Слайд 22 Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство. Положив х=0,5 и

N

Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения

, получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.
  • Имя файла: dokazatelstvo-neravenstv.pptx
  • Количество просмотров: 224
  • Количество скачиваний: 1
- Предыдущая Информатика Файл и файловая система
Следующая - Галогени

Похожие презентации

Презентация Линейное уравнение 7 класс Презентация Линейное уравнение 7 класс 194
Презентация по математике Подготовка к ГИА в форме ОГЭ. 9 класс Презентация по математике Подготовка к ГИА в форме ОГЭ. 9 класс 174
Презентация по математике на тему Первообразная и интеграл (обобщающий урок) Презентация по математике на тему Первообразная и интеграл (обобщающий урок) 177
Презентация по математике на тему Окружность Презентация по математике на тему Окружность 149
Свойства функции Свойства функции 156
Презентация по алгебре Сумма и разность алгебраических дробей Презентация по алгебре Сумма и разность алгебраических дробей 160
Показательные и логарифмические неравенства Показательные и логарифмические неравенства 199
Презентация по алгебре на тему Пик знаний Презентация по алгебре на тему Пик знаний 82
Квадратичная функция 8-9 классы. Квадратичная функция 8-9 классы. 198
Чертежи к задачам по стереометрии. Глава 3. Многогранники. Пирамида. (10 класс) Чертежи к задачам по стереометрии. Глава 3. Многогранники. Пирамида. (10 класс) 170
Степенные функции 11 класс Степенные функции 11 класс 163
Презентация по алгебре на тему Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин Презентация по алгебре на тему Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин 219
Теорема Виета Теорема Виета 158
Презентация к внеклассному мероприятию по математике Колесо истории Презентация к внеклассному мероприятию по математике Колесо истории 159
Производная функции в точке Производная функции в точке 155
Презентация по алгебре на тему формула корней квадратного уравнения (8 класс) Презентация по алгебре на тему формула корней квадратного уравнения (8 класс) 233
Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия 200
Функция Функция 154
Урок систематизации и обобщения знаний по теме Решение показательных уравнений Урок систематизации и обобщения знаний по теме Решение показательных уравнений 158
Презентация по математике Одночлены Презентация по математике Одночлены 147
Презентация по математике на тему Тригонометрические функции Презентация по математике на тему Тригонометрические функции 166
Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в алгебраической форме 136
Презентация по алгебре 10 Логарифмы Презентация по алгебре 10 Логарифмы 74
Как извлечь корень? Как извлечь корень? 161
Десятичные дроби Десятичные дроби 167
Презентация по алгебре в 11 классе по теме Производная и ее геометрический смысл. Презентация по алгебре в 11 классе по теме Производная и ее геометрический смысл. 157
Последовательность Последовательность 143
Примеры комбинаторных задач Примеры комбинаторных задач 160
Презентация по математике для РМО Презентация по математике для РМО 155
Конспект и презентация урока Умножение одночлена на многочлен Конспект и презентация урока Умножение одночлена на многочлен 151