Презентация на тему Выпуклость и вогнутость функции

x³
y = e

y = ln (x² +1)

Построить график функции

Вариант 2

b)
функция у = f (x) непрерывна и
дифференцируема,
причем

а b

у

поведение линий?

Одна из них – отрезок
прямой

Другая проходит над

а b

у

специальные понятия:
выпуклости и
вогнутости
графика функции

в точке х = а,
если в некоторой окрестности

у

а х

в точке х = а,
если в некоторой окрестности

у

а х

a b

a b х

– вогнутая кривая
Величина углов α1, α2, α3…
растет,

увеличиваются

В точках М1, М2, М3… проведены касательные

α1 < α2 < α3 < …

– вогнутая кривая
В точках М1, М2, М3… проведены касательные
α1

тангенсы углов α1, α2, α3… увеличиваются

tgα = f′(х) ,
следовательно, возрастает функция f′(х)

Если функция возрастает, то ее производная положительна

Производная функции f′(х) – это производная производной
(f ′(х))′ = f ′′(х) и f ′′(х) >0

Вывод:
Если график функции – вогнутая кривая, то вторая производная этой функции – положительна.

– выпуклая кривая
tgα = f′(х) , следовательно, убывает функция

В точках М1, М2, … проведены касательные

производная функции y = f ′(х)
(f ′(х))′ = f ′′(х) - отрицательна, т.е.
f ′′(х) < 0

м1

м2

α1

α2

α1 > α2 > α3 > …

тангенсы углов α1, α2, α3… убывают

Вывод:
Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

(х)
на данном интервале положительна, то кривая вогнута

наоборот,
называются точками перегиба

производную
Точки, в которых она равна нулю или не существует
Интервалы,

производной

Интервалы выпуклости:
(-3, 0) и (2, 5)
Интервалы вогнутости:
(-∞,

-3 0 2 5 f

х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – точки перегиба

+ - + - + f‘‘

вогнутая кривая

График функции
у = f

«+»

«-»

1

у = х³ - 12х + 4
Вариант 2

у =

– любое число
f'(х) = 3х² - 12
f''(х) = 6х
6х

Интервалы выпуклости:
(-∞, 0)
Интервалы вогнутости:
(0, +∞)

- + f ‘‘

0 f

х = 0 – точка перегиба

– любое число
f'(х) = х³ - 3х
f''(х) = 3х²

Интервалы выпуклости:
(-1, 1)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -1) и (1, +∞)

+ - + f‘‘
-1 1 f

х = 1 и х = -1 – точки перегиба