Презентация на тему МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

суммы двух других его плоских углов.
Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол

SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ∠ASB ≤  ∠ASC <  ∠ASC +  ∠BSC; ∠BSC ≤ ∠ASC <  ∠ASC +  ∠ASB.
Таким образом, остается доказать неравенство ∠ASС <  ∠ASB +  ∠BSC.

Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно,  ∠DSC <  ∠BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство  ∠ASС <  ∠ASB +  ∠BSC.

Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD.

360°.   
Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С

имеют место неравенства:  ∠ ABС <  ∠ ABS +  ∠ CBS,  ∠ ACB <  ∠ ACS +  ∠BCS. Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем 180°<  ∠ BAS + ∠ CAS +  ∠ ABS +  ∠ CBS + ∠ BCS +  ∠ ACS = 180° -  ∠ ASB + 180° -  ∠ BSC + 180° -  ∠ ASC. Следовательно,  ∠ ASB +  ∠ BSC +  ∠ ASC < 360° .

Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу доказанного свойства, имеет место неравенство  ∠ BAС <  ∠BAS +  ∠ CAS.

является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя

своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.

Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

и пятигранных вертикальных углов
Теорема. Вертикальные углы равны.

измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о,

то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен , получаем, что трехгранный угол призмы равен  .

через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного

угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C.
Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или
∠ SA + ∠ SB +  ∠ SC = 180о + 2 ∠ SABC.

Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …,

A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь:
∠ SA1 + … + ∠ SAn = 180о(n – 2) + 2 ∠ SA1…An.

Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь:
∠SA1+ …+∠SAn = π (n – 2) + 2∠SA1…An.

углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°;

в) 30°, 45°, 60°?

Ответ: а) Нет;

б) нет;

в) да.

в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные

углы; в) пятигранные углы.

Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;

б) октаэдр;

в) икосаэдр.

и 80°. В каких границах находится третий плоский угол?
Ответ:

10о < ϕ < 150о.

и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов

в 45°.

Ответ: 90о.

по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий

плоский угол.

Ответ: 60о.

и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные

отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC.

Ответ: 90о.

На одном из его ребер отложен от вершины отрезок,

равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра.

равноудаленных от его граней.
Ответ: Луч, вершиной которого является вершина

трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

равноудаленных от его ребер.
Ответ: Луч, вершиной которого является вершина

трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол

при вершине этой пирамиды.

1, углы при вершине 90о. Найдите трехгранный угол при

вершине этой пирамиды.