Презентация на тему Применение координатно-векторного метода к решению стереометрических задач (творческая работа обучающегося)

координатно-векторного метода;
Провести классификацию стереометрических задач, к которым целесообразно

применение координатно-векторного метода;

Освоить применение координатно-векторного метода решения стереометрических задач.

на нахождение - углов между прямыми - углов между прямой и

плоскостью - углов между плоскостями - расстояния от точки до плоскости - расстояния от точки до прямой - расстояния между скрещивающимися прямыми

90⁰ φ = ϴ
90 ⁰ < ϴ ≤ 180⁰ φ =180⁰

- ϴ

cosφ=| cos ϴ |

1.)

2.)

Косинус угла между двумя прямыми равняется модулю косинуса угла между направляющими векторами данных прямых.

≤ 90⁰ φ + ϴ = 90⁰
90 ⁰ < ϴ

≤ 180⁰ ϴ = 90⁰ + φ

1.)

2.)

sinφ=| cos ϴ |

Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к данной плоскости

модулю косинуса угла между векторами нормалей к данным плоскостям.
cosφ=|

cosϴ |

α

α

β

n1

φ

n2

0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰ φ = ϴ

90 ⁰ < ϴ ≤ 180⁰ φ =180⁰ - ϴ

ϴ

1.)

2.)

уравнением ax+by+cz+d=0 M0(x0;y0;z0)

Найти: расстояние от M0 до плоскости α
Решение. Обозначим основание

перпендикуляра, опущенного из точки М0 на плоскость α точкой М1 (x1;y1;z1). Поскольку точка М1 лежит в плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению данной плоскости: ax1+by1+cz1+d=0 (1) Вектор М0М1 (если не является нулевым), как и вектор n{a,b,c}, перпендикулярен к плоскости α, поэтому М0М1║n. Следовательно, существует такое число k, что M0M1= kn. Запишем это равенство в координатах: x1-x0=ka, y1-y0=kb, z1-z0=kc (2) Заметим, что искомое расстояние равно длине вектора М0М1, т.е. равно
l =
l =
l = |k| (3) Выразим теперь координаты точки М1 из уравнений(2) : x1=x0+ka y1=y0+kb z1=z0+kc
и подставим в уравнение (1):a(ka+x0)+b(kb+y0)+c(kc+z0)+d=0 ka²+x0a+kb²+y0b+kc²+z0c+d=0 k= - (4)
При подстановке уравнения(4) в уравнение(3) получаем: ρ(M0 ;α) = Полученная формула является формулой расстояния от точки М0(x0;y0;z0)
до плоскости α с вектором нормали к ней n{a,b,c}

α

A(x1,y1,z1) принадлежит прямой l точка М(x2,y2,z2) – произвольная точка пространства

Найти: расстояние от точки М до прямой l
Решение.
Чтобы найти расстояние от точки М до прямой l, то есть длину перпендикуляра МН (Н∊l), представим вектор МН в виде: МН= МА+АН. Пусть вектор МA=m {x1-x2,, y1-y2,z1-z2}, вектор АН=хp, где х – некоторое действительное число, так как он коллинеарен вектору р. Значит, МН=m + хp. Неизвестный коэффициент х найдем из условия перпендикулярности векторов МН и р. Скалярное произведение этих векторов равно нулю: (m+ хp)p=0 mp+xp2=0 x=
Искомое расстояние МН выражается следующим образом: |МН|=

Расстояние от точки до прямой.

A

Н

М

p

m

l

a задана направляющим вектором р и точкой А(x1,y1,z1) прямая b

задана направляющим вектором q и точкой B(x2,y2,z2) Найти: расстояние между прямыми a и b Решение.
Известно, что существует общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых, и притом
только один. Пусть это будет отрезок MN, концы которого M и N лежат на прямых a и b соответственно. Выразим вектор MN:
MN= MA+AB+BN. Так как векторы МА и ВN коллинеарны векторам p и q соответственно, то их можно представить в виде: МА=xp, BN=yq, где x и y – некоторые действительные числа
AB{x2-x1, y2-y1, z2-z1} = m. Тогда MN= m + хp + yq. Неизвестные коэффициенты x и y найдем из условий перпендикулярности вектора MN векторам p и q: MN∙p=0, MN∙q=0 В результате получается система линейных уравнений с двумя неизвестными x и y, решив которую, найдем x и y. ⟺ Искомое расстояние МN выражается следующим образом:
|МN|=

р

q

m

прямой.
 
Дано:
ABCDA1B1C1D1 - единичный куб, где Р и Q –

сере-
дины соответственно ребер A1B1 и ВС.
Найти: расстояние от точки D1 до прямой РQ,
 
Решение.
Рассмотрим прямоугольную
систему координат с началом в точке B, единичный отрезок равен ребру куба. Отметим на PQ точку H такую, что отрезок D1H –перпендикуляр к PQ Найдем координаты точек: P(0.5;0;1) Q(0;0.5;0) D1(1;1;1) B1(0;0;1) Тогда D1P{-0,5;-1;0} PQ{-0,5;0,5;-1} D1H = D1P + PH. Но PH коллинеарен PQ, поэтому PH=xPQ => PH{-0.5x;0.5x;-x} D1H{-0.5-0.5 x;-1+0.5 x;- x} D1H⊥PQ , поэтому D1H·PQ=0 0.25+0.25 x-0.5+0.25 x+ x=0 3/2 x -0.25=0 х=1/6. Вычисляем координаты вектора D1H, а затем его длину. D1H{-7/12;-11/12;-1/6}
D1H = =
Ответ: расстояние от точки D1 до прямой РQ равно .

A1

B1

C1

D1

A

B

C

D

x

z

y

H

середина ВС N – середина АВ

Найти: расстояние между скрещивающимися прямыми CN и DM

Решение. Пусть PQ – общий перпендикуляр прямых DM и CN PQ=PD+DA+AN+NQ (*) Введем систему прямоугольную координат так, как показано на рисунке и определим координаты точек. A (0;0;0) C (0;1;0) B (
O ( D ( N ( M (
DO2=AD2-AO2 = 1-( 2 =

D

A

B

C

P

M

N

Q

x

z

y

A

B

C

x

y

O

O

Пример задачи о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

α - некоторое действительное число. NC {

; ;0}, следовательно NQ{ α; α;0}

D

A

B

C

P

M

N

Q

x

y

O

равно