Презентация на тему Как найти корни квадратного уравнения?

научиться находить корни, квадратных уравнений.
Здесь ты найдёшь и общий

алгоритм решения квадратных уравнений, и теоретические сведения и различные интересные задачи и многое другое.
Так что – дерзай!

Сядь поудобнее, засучи рукава и …ВПЕРЁД!

к исследовательской деятельности, вызвать интерес к изучению математики, а

именно к решению квадратных уравнений. Данный проект предназначен для развития творческих способностей учащихся: предполагает развитие математического и логического мышления при решении поставленных проблем, нацеливает на самостоятельную исследовательскую деятельность, формирует навыки решения квадратных уравнений, активизирует учащихся к работе в предполагаемых проектах и созданию собственных творческих работ.
Основной вопрос, на который должны ответить участники проекта:
Как найти корни квадратного уравнения?

компьютером в аспекте алгебраических исследований.

Теоретическое и практическое владение основами

решения квадратных уравнений.

Дальнейшее формирование навыков самостоятельной работы в познавательной деятельности.

математики.
Научить учащихся понимать структуру формулы и алгоритм вычисления корней.
Научить

школьников оформлять информацию, собранную им самим.

группы 5-6 человек.

2 этап. Перед группой ставиться проблемный вопрос.

3

этап. Распределение работ внутри группы.

4 этап. Каждая группа должна выполнить:
               поиск материала;
               анализ материала;
    оформить презентацию и буклет.

в течении 3-х недель.

За это время мы…
Должны

решить, что будем делать и зачем.
Как разделиться—кто и с кем.
Теорию отлично изучить.
Задачи подобрать.
И алгоритмы получше осветить.
И вам, друзьям об этом рассказать!

уравнения?» посвящен изучению темы «Квадратные уравнения» В рамках проекта

школьники знакомятся с учебным материалом по данной теме. После чего разбиваются на группы. Перед каждой группой ставится проблемный вопрос. Группа проводит поиск и анализ информации с целью проверки собственных гипотез по сформировавшимся вопросам. По итогам проекта каждая группа подготавливает отчет в виде мультимедийных презентаций, буклетов. В рамках проекта предусматривается выступление перед классом по разрабатываемой теме.

«Неполные квадратные уравнения»

3. «Метод выделения полного квадрата»

4. «Решение квадратных

уравнений»

5. «Приведённое квадратное уравнение.
Теорема Виета.»

Уравнение 2 – й степени

умели решать ещё в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях.
Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах.
Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.).
Средне –азиатский учёный аль - Хорезми ( 19 век) в трактате «Китаб аль - джебр валь - мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата

ввёл систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он

был одним из первых , кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

х + с = 0 называют неполным, если хотя

бы один из коэффициентов в или с равен 0 .
Таким образом, неполное квадратное уравнение есть уравнение одного из следующих видов:
а х2 = 0,
а х 2 + с = 0, c ≠ 0
a x ² + b x = 0, b ≠ 0.

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения

Разделив обе части этого уравнения на 5,
получим:
х2

= 0,
откуда
х = 0.
Ответ : 0

Решим уравнение
– 3 х2 + 5 х = 0.
Разложим левую часть
уравнения на множители, получим:
х( - 3 х + 5 ) = 0,
откуда
х1 = 0, х2 = 5/3.
Ответ : 0, 5/3.

= 0.
Уравнение можно записать так:

х2 = - 7/2.
Это уравнение действительных корней не имеет,
так как х2 ≥ 0 для любого действительного числа х.
Решить уравнение
3х2 – 27 = 0.Разделим обе части уравнения на 3: х2 – 9 = 0.
Это уравнение можно
записать так: х2 = 9, откуда
х 1,2 = ± 3.

Проверь себя!
Решите уравнения.
х2 = 0;
9 х2 = 81;
4х2 – 64 = 0;
9х2 + 1 = 0;
3 х2 = 1/3;
(х2 – 1)/3 = 5

степени, т.е. уравнение вида

а х2 + в х + с = 0, где а ≠ 0 .

Выражение D = b2 – 4ac
называют дискриминантом трёхчлена
а х2 + в х + с
Уравнение
а х2 + в х + с = 0, где а ≠ 0 .
имеет два корня:

при этом если
D > 0, то корни
действительные и различные,

при D = 0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два),

при D < 0 уравнение
не имеет корней.

квадратных уравнений
применяется
метод выделения полного
квадрата.


Поясним этот

метод на
примерах.

Задача1.
Решить квадратное уравнение
х2 + 2х - 3 = 0
Преобразуем это уравнение так:
х2 + 2х = 3,
х2 +2х + 1 = 3 + 1,
(х + 1 )2 = 4.
Следовательно
х + 1 = 2 или х + 1 = - 2,
откуда
х1 = 1, х2 = - 3.

Ответ : 1, - 3.

х2 + 5х – 14 =0.
х2 + 5х

= 14 .
Х2 + 2*5/2х + 25/4 = 14 + 25/4,
(х + 5/2) 2 = 81/4,
х + 5/2 =± 9/2.
х1 = 9/2 – 5/2 = 2,
х2 = - 9/2 – 5/2 = -7.
Ответ: 2, - 7.

Задача 2.
Решить уравнение

4 х 2 – 8х + 3 = 0
4 х 2 – 8х = -3,
(2х)2 – 2*2*2х = -3,
(2х)2 – 2*2*2х + 4 = -3 + 4,
( 2х – 2 )2 = 1,
2х – 2 = 1 или 2х – 2 = -1,
2х = 3 2х = 1
Х1 = 3/2, х2 = ½
Ответ: 3/2, ½.

– 2 = 0.
Здесь а = 6,

в = 1, с = -2 .
По формуле



находим:

х 1, 2 = ( -1 ±7)/12,
откуда
х1 =( -1 + 7)/12 = ½,
х2 = (-1 – 7)/12 = -2/3.
Ответ: ½, -2/3

4х +1 = 0.
Здесь а = 4, в =

-4, с = 1 .

По формуле находим:

х 1, 2 = ( 4 ±0)/8 = ½.
Ответ: ½.

a c < 0, уравнение a x ² +

b x + c = 0
не имеет действительных корней.
Задача 3.
Доказать, что уравнение x² - 4 x + 5 = 0
не имеет действительных корней.
Здесь а = 1, b = - 4, с = 5,
b² - 4ac = (-4)2 – 4*1*5 = - 4 < 0.
Следовательно данное уравнение не имеет действительных корней

x + q = 0 называется приведенным.

В этом

уравнении старший коэффициент равен единице.
Например, уравнение x ² + 3 x - 4 = 0 является приведённым.
Всякое квадратное уравнение а х ² + b x + c = 0 может быть приведено
к виду x ² + p x + q = 0 делением обеих частей уравнения на a ≠ 0.
Для приведённого квадратного уравнения



формула корней приведенного квадратного уравнения
Этой формулой удобно пользоваться когда p – чётное число.
Например, решим уравнение x ² - 14 x - 15 = 0.
По формуле находим: х 1,2 = 7 ± √ (49 + 15) = 7 ± 8
Х1 = 7 + 8 , х2 = 7 - 8
Х1 = 15, х2 = - 1
Ответ: 15, -1.
Для приведённого квадратного уравнения
справедлива следующая теорема

+ рх + g = 0
то справедливы формулы

х1+х2 = - р,
х1х2 = g.
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

30 = 0
имеет корни х1 = 10, х2

= 3; сумма
его корней х1 + х2 = 13, а их
произведение х1х2 = 30.
Отметим, что теорема Виета
справедлива и в случае, когда
квадратное уравнение имеет два
равных корня: х1 = х2 = - р/2.
Например, уравнение
х2 – 6х + 9 = 0
имеет равные корни: х1=х2 = 3; их сумма х1 + х2 = 6,
произведение х1х2 = 9

Задача1.
Один из корней уравнения
x ² + p x - 12 = 0
равен Х1 = 4.
Найти коэффициент p и второй корень х2 , этого уравнения.
По теореме Виета
х1+х2 = - p ,
х1х2 = - 12,
Так как Х1 = 4, то 4 х2 = - 12,
откуда х2 = - 3,
p = - ( х1 + х2) = -(4 – 3) = -1
Ответ: 3, - 1.

которого

х1= 3, х2 = 4.
Так как х1=3, х2=4 – корни уравнения
х2 + рх + g = 0,
то по теореме Виета
р = - (х 1 + х 2) = - 7,
g = х1х2 = 12.
Ответ: х2 – 7х +12 =0.

Задача 3. Один из корней уравнения 3х2 + 8х – 4 = 0 положителен. Не решая уравнения, определить знак второго корня.

Разделив обе части уравнения на 3, получим:
х2 + (8/3)х – 4/3 = 0.
По теореме Виета х1х2 = - 4/3<0. По условию х1>0, следовательно, х2 <0

теорема. Обратная теореме Виета:
Если число р, g, х1, х2

таковы, что
х1+х2 = - р,
х1х2 = g,
то х1 и х2 – корни уравнения
х2 + рх + g = 0

Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения

Задача.
Подбором найти корни уравнения
х2 + 5х + 6 = 0.
Здесь р = - 5, g = 6.
Подберём два числа х1 и х2
так, чтобы
х1+х2 = 5,
х1х2 = 6,

Заметим, что 6 = 2*3, а 2 + 3 = 5,
по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что
х1 = 2, х2 = 3 – корни уравнения
х2 + 5х + 6 = 0.

на семинаре первыми!
Группа практиков:
Учит алгоритм решения квадратных уравнений

выступает на семинаре вторыми!

Участники проекта