Презентация на тему Обыкновенные дифференциальные уравнения

F(x,y,y′) = 0 или y′= f(x,y), связывающее

между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y′(x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

порядка называется всякая функция y=ϕ(x), которая, будучи подставлена в

уравнение вместе со своей производной y′=ϕ(x), обращает его в тождество относительно x.

дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y =

ϕ(x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения.

как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого

порядка.

порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено

в виде

Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.

уравнения

,
удовлетворяющего начальному условию
при , называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка.

дифференциального уравнения

,
проходящую через данную точку
.

называется уравнением с разделенными переменными.

с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:

.
Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций
,
а затем интегрируют.

.

порядка k, если при умножении ее аргументов на t

получаем:
Если k=0, то имеем функцию нулевого порядка. Например, функция

нулевого порядка.

порядка называется однородным, если его можно привести к виду

y′=
или к виду
где и – однородные функции одного порядка .

первого порядка называется линейным, если оно содержит

и в первой степени, т.е. имеет вид
.
Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

порядка, имеющее вид

,
где и
Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки