Слайд 2
Трендовые модели прогнозирования
Статистические наблюдения в социально-экономических исследованиях обычно
проводятся регулярно через равные отрезки времени и представляются в
виде временных рядов xt, где t = 1, 2, ..., п. В качестве инструмента статистического прогнозирования временных рядов служат трендовые регрессионные модели, параметры которых оцениваются по имеющейся статистической базе, а затем основные тенденции (тренды) экстраполируются на заданный интервал времени.
Методология статистического прогнозирования предполагает построение и испытание многих моделей для каждого временного ряда, их сравнение на основе статистических критериев и отбор наилучших из них для прогнозирования.
При моделировании сезонных явлений в статистических исследованиях различают два типа колебаний: мультипликативные и аддитивные. В мультипликативном случае размах сезонных колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда и отражается в статистической модели множителем. При аддитивной сезонности предполагается, что амплитуда сезонных отклонений постоянна и не зависит от уровня тренда, а сами колебания представлены в модели слагаемым.
Слайд 3
Трендовые модели прогнозирования
Основой большинства методов прогнозирования является экстраполяция,
связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в
изучаемом периоде, за его пределы, или — в более широком смысле слова — это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.
Наиболее известны и широко применяются трендовые и адаптивные методы прогнозирования. Среди последних можно выделить такие, как методы авторегрессии, скользящего среднего (Бокса — Дженкинса и адаптивной фильтрации), методы экспоненциального сглаживания (Хольта, Брауна и экспоненциальной средней) и др.
Для оценки качества исследуемой модели прогноза используют несколько статистических критериев.
Наиболее распространенными критериями являются следующие.
Слайд 4
Трендовые модели прогнозирования
Относительная ошибка аппроксимации:
где et = хt - — ошибка прогноза;
хt — фактическое значение
показателя;
— прогнозируемое значение.
Слайд 5
Трендовые модели прогнозирования
Данный показатель используется в случае сравнения
точности прогнозов по нескольким моделям. При этом считают, что
точность модели является высокой, когда < 10%, хорошей — при = 10—20% и удовлетворительной — при = 20—50%.
Слайд 6
Трендовые модели прогнозирования
Средняя квадратическая ошибка:
где k — число оцениваемых коэффициентов уравнения.
Наряду
с точечным в практике прогнозирования широко используют интервальный прогноз.
При этом доверительный интервал чаще всего задается неравенствами
Слайд 7
Трендовые модели прогнозирования
где tα — табличное значение, определяемое по t-распределению Стьюдента
при уровне значимости α и числе степеней свободы п -
k.
В литературе представлено большое число математико-статистических моделей для адекватного описания разнообразных тенденций временных рядов.
Наиболее распространенными видами трендовых моделей, характеризующих монотонное возрастание или убывание исследуемого явления, являются:
Слайд 8
Трендовые модели прогнозирования
Правильно выбранная модель должна соответствовать характеру
изменений тенденции исследуемого явления; При этом величина еt должна носить
случайный характер с нулевой средней.
Кроме того, ошибки аппроксимации et должны быть независимыми между собой и подчиняться нормальному закону распределения et Î N (0, σ). Независимость ошибок et, т.е. отсутствие автокорреляции остатков, обычно проверяется по критерию Дарбина—Уотсона, основанного на статистике:
Слайд 9
Трендовые модели прогнозирования
где et = xt - .
Если отклонения не коррелированы, то
величина DW приблизительно равна двум. При наличии положительной автокорреляции 0 ≤ DW ≤ 2, а
отрицательной — 2 ≤ D W ≤ 4.
Слайд 10
Трендовые модели прогнозирования
О коррелированности остатков можно также судить
по коррелограмме для отклонений от тренда, которая представляет собой
график функции относительно τ коэффициента автокорреляции, который вычисляется по формуле
где τ = 0, 1, 2 ... .
После выбора наиболее подходящей аналитической функции для тренда его используют для прогнозирования на основе экстраполяции на заданное число временных интервалов.
Слайд 11
Трендовые модели прогнозирования
Так как сезонные колебания представляют собой
циклический, повторяющийся во времени процесс, то в качестве сглаживающих
функций используется гармонический ряд (ряд Фурье) следующего вида:
Слайд 12
Трендовые модели прогнозирования
Оценки параметров αi и βi модели определяют из
выражений
где k = п / 2
— максимально
допустимое
число гармоник;
ωi = 2πi / п —
угловая частота i-й
Гармоники
(i = 1, 2, ..., т).
Слайд 13
Трендовые модели прогнозирования
Пусть т — число гармоник, используемых для сглаживания
сезонных колебаний (т < k). Тогда оценка гармонического ряда имеет вид
