Презентация на тему по теории вероятностей

множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения

на них.


Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).

китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По

мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. 

Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается ещё в сутрах древней Индии (начиная примерно с IV века до н. э.). 

Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. 

Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. Какие-то комбинаторные правила пифагорейцы, вероятно, использовали при построении своей теории чисел и нумерологии (совершенные числа, фигурные числа, пифагоровы тройки и др.). 

своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с

перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.





Несколько комбинаторных задач содержит «Книга абака» (Фибоначчи, XIII век). Например, он поставил задачу найти наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого товара весом от 1 до 40 фунтов.

в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также

Тарталья и Галилей. В историю зарождавшейся теории вероятностей вошла переписка заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома. После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач.

Джероламо Кардано -
итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог.

который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
История комбинаторики

Внимание

к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых

элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

-Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.

-Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок.

вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного

множества.

Топологическая комбинаторика.

Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

много известных открытых проблем, подчас с весьма несложной формулировкой.

Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, либо попарно знакомых друг с другом, либо попарно незнакомых (хотя известно, что 49 человек достаточно). 

комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций

являются:

-Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

-Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.

-Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

-Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.

-Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел. 

по m ящикам так, чтобы выполнялись заданные ограничения?

Сколько существует функций F из m-элементного множества

в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?

Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?

Ответ: 52! (52 факториал) то есть 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8.0658 × 1067.

При игре в кости бросаются две кости и выпавшие очки складываются, сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?

Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции - это номер кости, значение - очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати. 

имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и

по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Имеет применение в теории вероятностей.

В математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона (1+x)^n по степеням x.

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных.

…, 14)

оси.

В строке с номером n:

первое и последнее числа равны 1.

второе

и предпоследнее числа равны n.

Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2^n.

Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом.

Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.