Презентация на тему ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ

В ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ
ИТОГОВАЯ СУММА И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННОГО ОБЩЕГО

АННУИТЕТА
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АННУИТЕТОВ В ОБЩИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ОБЩЕГО АННУИТЕТА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ОБЩЕГО АННУИТЕТА

обычно равной величины, делаемых через равные промежутки времени. Он

был назван простым аннуитетом, если интервал платежа точно совпадает с периодом конверсии; в противном случае он называется “общим аннуитетом”

Например: Иванов вносит вклады по 50 тыс. руб. на счет в сберегательном банке в конце каждого квартала. Если банк начисляет проценты поквартально, вклады образуют простой аннуитет. Если банк использует другой период конверсии, вклады образуют общий аннуитет.

платежи общего аннуитета;
p- количество платежей общего аннуитета в

год;
i- норма процента за период конверсии;
m- число периодов начисления процента в год;
R- платежи обыкновенного простого аннуитета, который является эквивалентной заменой общего аннуитета, делаемые m раз в год.

Если аннуитет заменяется другим аннуитетом, то должны быть выполнены следующие два условия :
a) норма процента должна быть
той же самой или эквивалентной;
b) стоимости обоих аннуитетов
должны быть одинаковыми в любой момент времени

норму процента i' за интервал платежа общего аннуитета, которая

эквивалентна норме i за период начисления процента.Тогда: Если теперь приравнять аннуитеты в конце года, получим : Заменяя функции составных платежей их явными выражениями в обеих частях(2), будем иметь: Подставляя это в(4) окончательно получаем:

значением функции для дробного параметра

n = m/p .Так что справедливы равенства(6):



Значение дроби m/p в общем случае может быть любым.
Однако практически встречается один из следующих вариантов :

a) m/p является целым числом : в этом случае для анализа общего
аннуитета можно использовать обычные таблицы для целочисленных значений параметра;
b) m/p является дробью вида k/12 , k = 1, 2, 3, 4
или 6 , поскольку такие дроби встречаются довольно часто для них также составлены соответствующие таблицы функций составных платежей.

конце каждого года. Какие ежемесячные выплаты эквивалентны этой сумме,

если деньги стоят
?
Решение: Здесь W= 5 млн. руб, p= 1, i = 1/2 %, m= 12 и нужно
определить R.
Использование равенства (6) дает:

Таким образом, Сидоров мог бы получать ежемесячно 405350 рб вместо получения 5 млн рб в конце года. Такой результат получился бы, если бы мы воспользовались уравнением эквивалентности с датой сравнения в конце года.

конце каждого квартала на полугодовые платежи, если норма процента

5% , m = 2 .
Решение: W = 500000 , p = 4 , i = 2,5 % и m = 2.

Из уравнения (6) получаем:


Таким образом, полугодовые платежи 1006,2 тыс. руб. эквивалентны по квартальным платежам 500 тыс. руб. при норме процента j2 = 5 % .

итоговой суммы и настоящей стоимости обыкновенного общего аннуитета остается

прежней преобразовать обыкновенный общий аннуитет в эквивалентный ему обыкновенный простой аннуитет и затем определить требуемую характеристику известными методами для простых аннуитетов.

Проблемой, таким образом, является лишь преобразование общего аннуитета в простой. Как только это сделано, анализ простого аннуитета происходит стандартными способами.

Никаких дополнительных трудностей не возникает и в
случае отсроченных общих аннуитетов. Они преобразовываются в простые тем же самым образом. Покажем это на примерах.

рб в конце каждого квартала
при норме процента j1 =

4% . Какая сумма будет у него в банке через пять
лет ?

Решение: Составим сравнительную временную диаграмму, на основе
которой будет легко сделать преобразование общего аннуитета в
простой. W = 1 млн, p = 4 , m = 1 , i = 4% .

Из уравнения (6) имеем:

5 млн. руб. в течение 8 лет, первый платеж

в конце пятого года, если норма процента j4 = 5% .
Решение: Снова изображаем исходные данные на сравнительной временной диаграмме продолжительностью 1 год. W = 5 млн, p = 2 ,m = 4 ,
i = 1,25 % .

Используем уравнение (6) и получаем равенство:

которое определяет квартальные платежи,
эквивалентные полугодовым выплатам по 5 млн рб. Срок аннуитета равен 8 лет ( 32 периода
конверсии ) и отсрочен на 4,5 года ( 18 периодов конверсии ).
Используя ранее разработанную технику расчетов находим настоящую стоимость A

обыкновенных простых аннуитетов в обыкновенные общие аннуитеты.

Преобразование можно

сделать достаточно просто с помощью второго равенства (6) и таблиц функций составных платежей. Такая задача появляется, когда требуется найти платежи общего аннуитета.


Идея нахождения общего аннуитета состоит в определении простого аннуитета, который мог бы быть использован для выполнения намеченных целей, а затем преобразования этого простого аннуитета в эквивалентный общий аннуитет

20 млн рб
наличными и последовательность одинаковых полугодовых платежей в
течение

следующих 20 лет. Какими должны быть платежи при норме
процентов j1 = 4,5 % ?

Решение : Сначала решим задачу о простом аннуитете : какие понадобятся ежегодные платежи ? В этом случае в качестве ежегодных платежей простого аннуитета должны быть

Теперь преобразуем простой аннуитет в требуемый общий аннуитет.
Мы имеем R = 7687614 , m = 1, p =2 , i = 4,5 % .

Из второго уравнения (6) получаем эквивалентные полугодовые
платежи W:

процента для общего аннуитета
состоит в определении нормы процента для

простого аннуитета на
интервал платежа, а затем преобразовании этой нормы в
эквивалентную норму на требуемый период начисления процентов.

При этом в отсутствии вычислительных средств снова можно для
получения приближенного решения воспользоваться методом линейной
интерполяции и таблицами функций составных платежей.

Это мы сможем увидеть на примере

поквартально на 7 лет может быть куплен за 15750

тыс рб. Какая номинальная норма, конвертируемая ежемесячно, использована для реализации инвестиции покупателя ?
Решение: Сначала решим задачу простого аннуитета : какой должна быть поквартальная норма i начисления процентов ?
Для этой вспомогательной задачи используем равенство


Составим следующую вспомогательную табличку (для рассматриваемого
72 примера анализ основывается на первых трех строчках этой вспомогательной таблицы )

Пропорция линейной интерполяции для i имеет вид:

что дает i = 0,02104 или i = 2,1 % . Однако нам нужно определить не i ,
а j12 , которая должна быть связана с i соотношением эквивалентности

дает j12 = 0,0835764 .
Если возведение в дробную

степень вызывает затруднение, можно далее воспользоваться приведенной выше вспомогательной табличкой, составляя новую
пропорцию линейной интерполяции

что приводит к результату j2 = 0,0850602 .
Точность линейной интерполяции в данном случае равна 0,0000150 .