Презентация на тему Случайные величины и функции распределения(Ахметов С.К.)

курса «Математические методы обработки гидрологической информации»

Случайные величины и

функции распределения

Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии

Построение кривых обеспеченностей и оценка параметров распределения по эмпирическим данным

Интервальное оценивание параметров и проверка статистических гипотез

Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными

Случайные процессы

гидрологические характеристики – одно из обоснований для обработки гидрологических

данных с использованием аппарата теории вероятностей

Случайная величина (СВ) – это величина, значение которой меняется от опыта к опыту

Неслучайные или детерминированные величины - это величины, значения которых от опыта к опыту не меняются

если:

указано множество возможных значений СВ
указан способ количественного определения

вероятности попадания СВ в любую область из множества возможных значений
Вероятность – Р попадания СВ в интервал [a,b] можно определить следующим образом:

P(a,b) =

где m – число наблюдений СВ, оказавшихся в заданной области; N – общее число наблюдений.
Аналитическими выражениями законов распределения случайной величины являются функции распределения – интегральная и дифференциальная.

СВ X показывает вероятность того, что СВ не превысит

некоторого заданного числа x, т.е.
F(x) = P { X ≤ x}


 

СВ Х заключено между х1 и х2 равно разности

значений функций распределения, вычисленных в двух точках:
 P {x1 < X ≤ x2} = F(x2) - F(x1)
 аналогично
 
P {X > x} = P {+ ∞ > X > x} = 1 – F(x)

часто используется функция обеспеченности P(х), но с включением в

интервал изменений значения х


P(х) = 1 - F(x) = P {X ≥ x}


То есть функция обеспеченности P(х) СВ Х показывает вероятность превышения некоторого заданного числа х

P(х)

дифференцируема для всех значений СВ Х, то закон распределения

вероятностей может быть выражен и в виде дифференциальной функции распределения вероятностей

f(x) называют также функцией плотности распределения вероятностей или функцией плотности вероятности

распределения можно вычислить вероятность попадания СВ с любую заданную

область из множества возможных значений, в частности:

помощью дифференциальной функции распределения

СВ, которая принимает только конечные или счетное множество значений:

х1, х2, х3…..
Непрерывная СВ может принимать любые значения из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного.
Интегральная функция распределения дискретной СВ Х в практических ситуациях представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках х1, х2, х3….

не дифференцируема. Поэтому вместо функции плотности вероятности используется ее

дискретный аналог, который называется рядом распределения и может представляться в виде таблицы

На основании такой таблицы можно построить гистограмму распределения вероятностей дискретной СВ. Для ряда распределения дискретной СВ должно выполняться равенство

- это параметры, характеризующие положение центра распределения.
Модой Мо непрерывной

СВ Х называется такое ее значение, которому соответствует максимум плотности вероятности
Модой Мо дискретной СВ Х называется наиболее вероятное значение СВ

значение, при котором

Можно сказать, что Ме – это

такое значение СВ, при котором значение функции обеспеченностей равно значению интегральной функции распределения.

Положение медианы на графиках дифференциальной (а) и интегральной (б) функций распределения.

Для дискретных СВ медиана определяется неоднозначно и практически не употребляется.

следующими формулами

МО можно трактовать как центр тяжести плотности

вероятности

В качестве символа МО используется обозначение М[Х]. Таким образом, для СВ Х можно записать также mx ~ М[Х]

среднее, в этом случае для обозначения МО используется символ

N, где N→∞.

Если мода, медиана и математическое ожидание совпадают, то распределение является симметричным. Если МО расположено правее медианы, то распределение является положительным, в противном случае – отрицательным.

момент S – го порядка СВ равен
as = M

[Xs ] или

Центральный момент S-го порядка СВ Х определяется формулой

или

МО - первый начальный момент, то есть

mx = M[X1] = α1

составляют параметры, характеризующие степень рассеяния СВ относительно центра распределения.

К ним относится дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия СВ Х представляет собой второй центральный момент, то есть

Для непрерывной СВ Х дисперсия определяется формулой

это квадратный корень из дисперсии.
Для описания рассеяния положительных

СВ можно использовать безразмерную характеристику – коэффициент вариации.
Коэффициент вариации Сv СВ Х это отношение СКО к МО.

степень симметричности рассеяния относительно математического ожидания.
Коэффициент асимметрии определяется формулой

Для симметричных распределений коэффициент асимметрии равен нулю.

формулой

Эксцесс позволяет оценить островершинность, или наоборот туповершинность, функции плотности

вероятности СВ Х относительно нормального закона распределения, для которого Ех =0.

форму функции плотности вероятности

этой величине:
М[c] = c, где с – константа
2.

Постоянный множитель можно выносить за знак МО:
M[cX] = cM[X]
3. МО суммы независимых СВ равно сумме их МО

так, например

4. МО линейной функции от СВ выражается формулой

5. МО произведения независимых СВ равно произведению их МО:

D[c] = 0, где с = const.
 
2.

Постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, возведя ее в квадрат

3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий

4. Дисперсия линейной функции СВ определяется выражением

часто используется замена СВ Х модульными коэффициентами и замена

СВ стандартной нормированной СВ.

Модульным коэффициентом называется соотношение СВ к ее математическому ожиданию
ki = xi/mx
Стандартная нормированная величина может быть получена из СВ по формуле 
ti = (xi - mx)/σx
или с учетом формулы выше ti = (ki - 1)/Cv

вероятности не превышения F(x) = p’ определить величину x’p.

Для обозначения x’p в этом случае в математической статистике используется специальный термин – квантиль
р – квантилем называется значение случайной величины x’p, соответствующее заданному значению вероятности непревышения F(x) = p’.
По аналогии с квантилями в гидрологической практике используется р – ординаты кривой обеспеченности
Ординатой кривой обеспеченности называется такое значение СВ Х (хр), которое соответствует заданной вероятности превышения Р(х) = р
То есть Р(х)= 1- F(x), следовательно, р и р’ связаны соотношением р = 1 - р’ или (если р в %) р = 100 - р’