Презентация на тему для учащихся 11 класса по теме Комбинаторика.

формулы комбинаторики и научиться применять их при решении задач

Блеза Паскаля и Пьера Ферма по теории азартных игр.
Блез

Паскаль

Пьер Ферма

Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.
Г.В. Лейбниц
Я. Бернулли
Л.

Эйлер.

в множестве B — n элементов. Тогда число всех

различных пар (a,b), где a\in A,b\in B будет равно mn. Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества A мы можем составить n таких различных пар, а всего в множестве A m элементов.

трех элементов a,b,c. Какими способами мы можем выбрать из

этих элементов два? ab,ac,bc,ba,ca,cb.

всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только

их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно Pn=n!=1·2·3·...·(n-1)·n

целых чисел от 1 до n. По определению, считают,

что 0!=1 1!=1 Пример всех перестановок из n=3 объектов (различных фигур) - на картинке . Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3!=1⋅2⋅3=6 , так и получается.

растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число

перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

них m объектов и переставлять всеми возможными способами между

собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно Aⁿm=n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

элементов (m≤n) называются комбинации, которые составлены из данных n

элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

них m объектов всевозможными способами (то есть меняется состав

выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно Cmn=n!(n−m)!⋅m!

m=2- на картинке снизу. Согласно формуле, их должно быть

ровно C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m! раз, то есть верна формула связи: Amn=Cmn⋅Pm.

причем каждый из них сыграл только одну партию с

каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х

человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , при n=2, m=13.

=

3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок

сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий,
9 – 6
10 – 5
11 – 4
12 – 3
13 – 2
14 – 1,
а 15-ый уже играл со всеми.
Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий
ОТВЕТ. 105 партий.