Презентация на тему Определённый интеграл

фигура, ограниченная осью 0х, прямыми х=а, х=b (а< b)

и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y=f(x); назовём эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.

равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек х1,

х2, х3, …, xk, xk+1, …, xn-1.
Тогда заданная трапеция разобьётся на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

которой служит отрезок [х k ; х k+1].
Площадь

прямоугольника равна f(х k )·Δх, где Δх – длина отрезка [х k ; х k+1]; естественно считать составленное произведение приближённым значением площади k-го столбика.

Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(х k ).

остальными столбиками, то придём к следующему результату: площадь заданной

криволинейной трапеции приближённо равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников. Имеем:
Sn= f(x0)Δx0 + f(x1)Δx1 + f(x2)Δx2 + + … + f(xk)Δxk + … + f(xn-1)Δxn-1.
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем что а=х0, b=хn, Δx0 – длина отрезка [x0; x1], Δx1 –длина отрезка
[x1; x2] и т.д.
Итак, S ≈ Sn, причём это приближённое равенство тем больше, чем больше n.

(Sn)

стержень, плотность в точке х вычисляется по формуле р=р(x).

Найти массу стержня.

но этот закон действует только для однородных тел, т.е.

в тех случаях, когда плотность постоянна. Для неоднородного стержня используется тот же метод, что был применён при решении задачи 1.

х

хn-1=b

xk+1

xk

x2

x1

х0=a

I I I I I I I

Разобьём отрезок [а;b] на n равных частей;
Рассмотрим отдельно k-ый участок [х k ; х k+1] и будем считать, что плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке х k . Итак, считаем, что ρ=ρ(xk).
Найдём приближённое значение массы mk k-го участка:
mk≈ ρ(xk)·Δxk,
Где Δxk, как и в предыдущей задаче, - длина отрезка [х k ; х k+1].

Sn,
Где Sn= m0 + m1 + m2 + …

+ mk + … + mn-1 =
ρ(x0)Δx0 + ρ(x1)Δx1 + ρ(x2)Δx2 + + … + ρ(xk)Δxk + … + ρ(xn-1)Δxn-1.

5) Точное значение массы стержня вычисляется по формуле

Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t); пусть для

определённости v(t)>0. Найти перемещение точки за промежуток времени [a;b].

бы очень просто: s = vt, т.е. s =

v(b-a). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение двух предыдущих задач.

Разобьём отрезок [а;b] на n равных частей.
Рассмотрим отдельно k-ый участок [t k ; t k+1] и будем считать, что скорость на этом промежутке времени постоянна, а именно такая, как, например, в момент времени t k . Итак, считаем, что v = v (t k).
Найдём приближённое значение перемещения точки sk за промежуток времени [t k ; t k+1] :
sk ≈ v(tk)·Δ tk,
4) Найдём приближённое значение перемещения s:
s ≈ Sn,
Где Sn= s 0 + s 1 + s 2 + … + s k + … + s n-1 =
v(t0)Δt0 + v(t1)Δt1 + v(t2)Δt2 + + … + v(tk)Δtk + … + v(tn-1)Δtn-1.
5) Точное значение перемещения вычисляется по формуле:

к одной и той же математической модели. Многие задачи

из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить, т.е.:
а) присвоить ей новый термин;
б) ввести для неё обозначение;
в) научиться с ней работать.

Этим и займёмся.

построена в трёх рассмотренных задачах для функции y =

f(x), непрерывной (но обязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а;b]:
Разбивают отрезок [а;b] на n равных частей.
Составляют сумму:
Sn= f(x0)Δx0 + f(x1)Δx1 + f(x2)Δx2 + + … + f(xk)Δxk + … + f(xn-1)Δxn-1.
3) Вычисляют lim Sn

n→∞

В курсе математического анализа доказано, что при указанных условиях этот предел существует. Его называют определённым интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а;b] и обозначают так:

S – площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический

смысл определённого интеграла.

Из решения задачи 2 следует, что масса m неоднородного стержня с плотностью ρ(x) вычисляется по формуле

В этом состоит физический смысл определённого интеграла.

Из решения задачи 3 следует, что перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t), за промежуток времени от t=a до t=b, вычисляется по формуле

Это ещё одно физическое истолкование определённого интеграла.