Презентация на тему по теме: Понятие о производной

основе задач физики,
рассматривая при этом физический

смысл производной.
2) Выяснить геометрический смысл производной дифференцируемой
функции.
3) Научиться решать задачи на данную тему, используя полученные знания.
РАЗВИВАЮЩАЯ:
1) Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания.
2) Развитие навыков исследовательской деятельности.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ:
1) Способствовать развитию творческой деятельности.
2) Развивать у учащихся коммуникативные компетенции, потребности к самообразованию.

смысл производной.

изучаются производные и их применение к исследованию функций, называется

дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце 17в., т.е. при рождении нового метода.
Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова deriveе, которое ввёл в 1797г. Ж.Лагранж, он же ввёл современные обозначения у' , f'. Такое название отражает смысл понятия: функция f'(x) происходит из f(x), является производным от f(x). И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и ввёл обозначение производной df/dx.
Слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum – наименьший.

Галлея (друга Ньютона).
В 16 лет стал преподавать

математику в Артиллерийском училище в Турине.
В 19 лет стал профессором математических наук.
В 23 года стал академиком и иностранным членом Берлинской академии наук.
Автор трудов по вариационному исчислению, математическому анализу, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям.
Его работы по математике, астрономии и механике составляют 14 томов.
Император Франции сделал учёного сенатором, графом империи и командором ордена Почетного легиона.

« – величественная пирамида математических наук»

Выдающийся французский математик, ввел термин «ПРОИЗВОДНАЯ» и её современное обозначение.

Жозеф Луи Лагранж

Наполеон I Бонапарт

в некоторой окрестности точки х0 (окрестность точки х0 -

это интервал (а; б), x0(а; б)).
Разность х-х0 называется приращением аргумента: ∆x=х-x0. Отсюда x=x0+∆x.
Разность f(x)-f(x0) называется приращением функции: ∆f=f(x)-f(x0) или ∆f=f(х0+∆x)–f(х0). Отсюда, f(х0+∆x)=f(х0)+∆f.

отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x,

стремящегося к «нулю»:

2. Понятие производной

значение функции в точке x0+∆x: f(x0+∆x)
Найти приращение функции: ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)
Найти

отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

2. Понятие производной

произвольной точке и в точке х=3.
Решение:
f(x0+∆x)=(х+∆x)2;
∆f=(х+∆x)2-х2=x2+2x∆x+(∆x)2-x2=2х∆x+(∆x)2;

, т.е. y’=(x2)’=2x;

при х=3 получим y’(3)=2*3=6.

2. Понятие производной

Ответ: y’=2x; y’(3)=6

Дадим x приращение x, тогда y получит приращение y:

Так как

то

Ответ:

кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет

называться касательной к кривой»

3. Геометрический смысл производной.

Это кто?

Лейбниц Г.В.

135°, 120°, 150°.
Повторение
Tg A=7/4
Tg B=4/7
Tg A=3/3
Tg B=3/3
=-1
=-3
=-3/3

точку Р(3; -1). Чему
равен ее угловой коэффициент?
y=kx+b
y=kx
Повторение

две точки М и М1:
х
f(x )
x+Δx
М
М1
f(x+ Δx )
Через точки

М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

При x→0 в силу непрерывности функции y также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.

графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой

равна x.

Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Уравнение касательной

Уравнение нормали

3. Геометрический смысл производной.

f(x)=x2 в точке x0 = 3.
Решение:
Ответ:

этот момент она не течет ни вперед, ни назад»
3.

Физический (механический) смысл производной

Это кто?

Исаак Ньютон

2 t ³ - 3 t. Вычислите скорость движения

точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение:

а)

б)

3. Физический (механический) смысл производной

Ответ: V(t)=6t2-3; V(2)=21 м/с

4t²
Найдите скорость и ускорение в момент времени t=5с.

3. Физический (механический) смысл производной

Ответ: V(5)=35 м/c; a(5)=22 м/с2

Решение:

сек.
3. Найти ускорение при t=3 сек
1. Найти среднюю скорость

движения на указанном отрезке

3. Физический (механический) смысл производной

Ответ: Vср=73 м/с; V(3)=12 м/c; a(3)=12 м/с2

из четырех участков :
3. Физический (механический) смысл производной

прямолинейно по законам s1(t) = 1

- 6t + 2,5t 2 и s2(t) = -3+ 2t + 0,5t 2. Определить в какой момент времени скорости их будут равны.

Ответ: при t0 = 2 с

Решение:

подсказка

3. Физический (механический) смысл производной

вступившего в химическую реакцию задается зависимостью р( t )

= t 2/2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

подсказка

РЕШЕНИЕ:

1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,

2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек)

Ответ: 6 моль / сек

3. Физический (механический) смысл производной Задача по химии

= 4+ 8t – 5t 2 . Найдите:
1) скорость

тела в начальный момент времени;
2) наибольшую высоту подъёма тела.

РЕШЕНИЕ:

2) t= 0, v(0) = s’(0) = 8 м/с – скорость тела в начальный момент времени

1) v (t) = s’(t) = 8 – 10t - скорость тела;

3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная высота броска тела.

Ответ: 8 м/с ; 7,2 м.

3. Физический (механический) смысл производной

t3 – 2t2.
Выберите какой из формул задается скорость движения

точки в момент времени t.

1) 3t2 – 2; 2) t2 – 4t; 3)3t2 – 4t; 4) t4 – 2t3

УСТНО!

Задача по физике

Ответ: 3

от времени по
V(t) = -5/3t3+15/2t2+50t+70.
Вычислите производительность труда

П(t).

Ответ: П(t) = -5t2+15t+50

Задача по экономике

УСТНО!

точке?
В чем заключается геометрический смысл производной?
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения

касательной?
В чём заключается физический смысл производной?

получится
безразлично, что будет, то и будет
Выберете смайлик, соответствующий вашему

настроению и состоянию после проведенного урока

алгоритм нахождения производной;
практическое задание: Математика. А.А. Дадаян. №9.3, 9.7.

10-11»
Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл.

для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010
ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010
МАТЕМАТИКА СБОРНИК ТЕСТОВ ПО ПЛАНУ ЕГЭ 2009. Учебно-методическое пособие. под редакцией А. Г. Клово, Д. А. Мальцева; Ростов-на-Дону. НИИ школьных технологий