Презентация на тему Открытый урок алгебры в 9 классе по теме:Арифметическая и геометрическая прогрессии- урок систематизации и обобщения.

обобщения.
Цель урока:
«Подготовка в итоговой аттестации»

арифметической и геометрической прогрессии
Формулы
n – член
Историческая справка
Решение задач
Домашнее задание
Итог

урока.

арифметической прогрессии?
Как найти n член арифметической прогрессии?
Как найти сумму

n членов арифметической прогрессии?

число называется знаменателем геометричес-кой прогрессией?
7. Как найти n член

геометрической прогрессии?
8. По какой формуле можно найти сумму n первых членов геометрической прогрессии?

быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.

Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент Хn некоторого множества. Последовательность записывается в виде Х1,Х2, . . .,Хn , или кратко (Хn).Элементы х1,х2, . . .,хn – называются членами последовательности.

второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем

же числом.

Геометрическая прогрессия- последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

(g не =0)‏

n-1
bn=b1*g

2
2a1+ d(n-1)‏
Sn=---------*n

2

Геометрическая
n
b1 (g - 1)‏
Sn=---------,g=/= 1
g-1
bn * g-b1
Sn=------------, g=/=1
g-1

были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках

и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.
В древнегреческом папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится такая задача:
«Пусть тебе сказано:раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялось 1/8 меры»
В этой задаче речь идёт об арифметической прогрес-сии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так:
S10 =10? d = 1/8, найти: a1, a2,…,a10

в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7

мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, даёт 7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна».
Решением этой задачи приводит к сумме:
7 + 7х7 + 7х7х7 + 7х7х7х7 + 7х7х7х7х7, т.е.
сумме пяти членов геометрической прогрессии.

Так, им были известны формулы суммы n первых чисел

последовательности натуральных, чётных и нечётных чисел.
Архимед (Ш в. до н. э.) для нахождения площадей и объёмов фигур применял «атомистический метод», для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел
1х1 + 2х2 + 3х3+ … + nxn=1/6n(n+1)(2n+1),
Показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1+ ¼ + 1/4х4 + … .

китайские и индийские ученые. Об этом говорит, например, известная

индийская легенда об изобретателе шахмат.
Термин «прогрессия» (от латинского progressio, что означает «движение вперёд») был введён римским автором Боэцием (VI в.) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названная «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

они называли непрерывной арифметической пропорцией, а равенство
bk-1/bk

=bk / bk+1 – непрерывной геометрической пропорцией.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (Ш в.). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала». Правило отыскания суммы членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «Книге абака» Л. Фибоначчи (1202). Общее правило для суммирования любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии даёт Н.Шюке в книге «Наука о числах» (1484).

эпизод из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855). Когда

ему было 9 лет, учитель занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1+2+3+4+…+40».
Какого было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчётов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

40,39,38,…,21
-_____________________________________________________________________________________________________________
41,41,41,…,41

Шарам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета)

и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанный им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за второе –два, за третью еще в два раза больше и т.д.
Эта задача привлекла внимание Л.Н.Толстого

8 с одной стороны и 8 с другой, получаем

8х8=64
На 1- ю – 1 на 33- ю – 4294967296
На 2- ю - 2 на 34- ю - 8 589934592
На 3- ю - 3 на 35- ю -17179869184
На 4- ю - 4 на 36- ю -34359738368
……………………………………………………………………………………………………………
на 62 – ю - 2 305 843 009 213 693 952
на 63 – ю - 4 611 686 018 427 387 904
на 64 – ю - 9 223 372 036 854 775 808

то на одной последней клетке вышло
230 584 300 921

369 пудов
Общее число зёрен составляет:
18 446 744 073 709 551 615

ли число -40 членом арифметической прогрессии?

=-40 , an =a1+d(n-1)‏
-40=-58+5(n-1)‏
-40=-58+5n-5

5n=23, n=4,6

вывод?

374

№ 375

Если из второго члена этой прогрессии вычесть 2, а

остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

прогрессии.
Решение заданий из сборника по подготовке к экзамену(каждый ученик

получает задание)‏

уроке?
А теперь ответьте на вопросы, которые поднимались сегодня на

уроке(работа на листочках):
Формулы
Математики, встречающиеся в исторической справке.

разность равна 3. Найти четвёртый, восьмой и двадцать первый

член прогрессии.
Первый член арифметической прогрессии равен 2, а 11 член -5.Найдите разность арифметической прогрессии.
В арифметической прогрессии первый член равен – 12, знаменатель равен 3.Найти n-ый член равный 9.
Выписали 20 членов арифметической прогрессии 6,5 ; 8 ; . . ..Встретится ли среди них число 36?
В арифметической прогрессии известен пятый член равный – 1,5 и шестой равен ¾. Найти х4 +х7
В геометрической прогрессии известно,что её первый член равен 3, четвёртый член равен 2 ¼. Найти у2 * у5