Презентация на тему Элементы линейной и векторной алгебры

линейной и векторной алгебры»
Задачи:
Ввести понятия матрицы и определителя

квадратной матрицы
Рассмотреть действия над матрицами и их свойства
Исследовать СЛАУ на совместность и рассмотреть различные способы решения систем

называются равными,
если их соответствующие элементы равны.
Матрица с одинаковым

числом строк и столбцов называется квадратной.

Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1,
а остальные равны нулю, называется единичной матрицей

одинаковой размерности
2. Умножение матрицы любой размерности на число

Если
и
, то
,

и

.

Умножение матриц соответствующей размерности


Если
, то

по правилу:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилу:

определитель порядка n-1, полученный из определителя матрицы вычеркиванием соответствующих

строки и столбца.


Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком + (плюс), если сумма номеров строки и столбца является четным числом, и со знаком – (минус) в противном случае.


Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения, т.е.

обратными, если их произведение с любым порядком множителей равно

единичной матрице соответствующей размерности.

Обратная матрица

Теорема. Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица, определяемая по формуле

Рангом матрицы называется наивысший порядок
отличного от нуля минора матрицы

строк (или двух столбцов);

умножение всех элементов строки (или столбца)

на любое ненулевое число;

прибавление ко всем элементам строки (или столбца) соответствующих элементов другой строки (другого столбца), умноженных на одно и то же число;

транспонирование, т.е. замена каждой строки столбцом с соответствующим номером.

Теоретический материал

Элементарные преобразования

Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы
ее ранг не меняется.

линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется совокупность вида
Если

все свободные члены равны нулю, то система линейных алгебраических уравнений (сокращенно СЛАУ) называется однородной,
в противном случае – неоднородной.

Решением СЛАУ называется совокупность значений переменных, которые при подстановке каждое уравнение системы обращают в тождество.

систему – это значит:

1) выяснить, является ли система совместной

или несовместной;
2) если система совместна, то найти множество ее решений.

Теорема (Кронекера - Капелли).
Линейная система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны.


Следствие. Совместная система является определенной, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных, и неопределенной,
в противном случае.

последовательного исключения переменных является универсальным, и применяется для решения

произвольной системы линейных алгебраических уравнений.

При методе Гаусса систему приводят к более простому виду с помощью следующих элементарных преобразований:

изменение порядка уравнений;

умножение уравнения на ненулевое число;

прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Элементарные преобразования СЛАУ приводят к эквивалентным системам, а значит, не меняют решений исходной системы.

n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

матричная форма записи системы имеет вид:

с введенными обозначения для матрицы системы,
столбца неизвестных и столбца свободных слагаемых

применяется для решения системы n линейных алгебраических уравнений с

n неизвестными с невырожденной матрицей системы

Матрица-решение системы находится по формуле:

матрицы и способы его вычисления
Единичная матрица и обратная матрица
Система

линейных алгебраических уравнений
Решение СЛАУ. Совместная СЛАУ
Метод Гуасса решения СЛАУ
Матричный способ решение СЛАУ