Презентация на тему Графики квадратичных функций

функций
Графики и коэффициенты уравнений – простейшие закономерности
Динамические демонстрации

графика вы могли бы отметить?

меняется.
Какие особенности первого графика сохранились? Какие нет?

ах2 + bх + с, причем а ≠ 0

(в противном случае мы придем к случаю линейной функции).

Вопросы:
Сохранится ли «форма» уже знакомой нам параболы при ненулевых b и с?
Сохранится ли симметрия графика?
Сохранится ли «вершина»?

меняется, при этом k принимает также и отрицательные значения.
Какие

особенности графиков сохранились? Какие нет?

коэффициент при х2 положительный, «ветви» параболы направлены вверх.
Если коэффициент

при х2 отрицательный, «ветви» параболы направлены вниз.
Если коэффициент при х2 равен 0? Стоп! Получившая функция выпадает из определения квадратичных! Но закономерность, тем не менее, сохраняется!!! Возникает прямая, «ветви» которой направлены ни вверх, ни вниз! .
При изменении коэффициента при х2 меняется «крутизна» графика.

ветви?)
Пример 1: у = х2 + х – 2

3х + 4

новые вопросы:

Всегда ли коэффициент при х2 определяет направление «ветвей»

параболы?
Если да, то как это доказать?
Всегда ли коэффициент при х2 определяет «крутизну» графика?
Если да, то как это доказать?
Симметрия графика вроде бы сохраняется. Но ось симметрии уже не совпадает с осью Оу. Чем определяется ее положение?
Графики перестают проходить через начало координат. Появляются новые точки пересечения с осями. Чем они определяются?

на возникшие вопросы.

Начнем с последнего. Вопрос №6 : «Графики

перестают проходить через начало координат. Появляются новые точки пересечения с осями. Чем они определяются?»

ответы на поставленный вопрос, проведем еще несколько экспериментов.

Попробуем динамически

изменять коэффициенты уравнений и следить за тем, как меняется график.

Пример 1: у = х2 + х – 2

Будем менять свободный член: у = х2 + х – а

-х2 + 3х + а
Пример 2: у =

-х2 + 3х + 4

члена график параллельно сдвигается! Результат, аналогичный случаю линейной функции.
В

обоих случаях каждая точка «поднимается» на 3 вверх!

перестают проходить через начало координат. Появляются новые точки пересечения

с осями. Чем они определяются?»

Иными словами, как найти координаты точек пересечения графика квадратичной функции с осями координат?

Интересный ответ: по очереди!
С какой бы оси вы начали? – В парах определите, кто чем занимается и мы через несколько минут оценим результаты. В качестве пробной функции возьмем последний пример: у = х2 + 4х + 3

Как координаты точек пересечения с осями координат связаны с коэффициентами?

со своей задачи те, кто искал координаты точки пересечения

графика с осью Оу.

В общем-то, это неудивительно. В наших экспериментах такая точка была всегда одна! Тогда как точек пересечения с осью Ох могло быть целых две! А могло и не быть вообще!!!

Для функции у = х2 + 4х + 3 точка пересечения с осью Оу имеет координаты (0; 3).

Возьмем несколько других примеров. Найти координаты точки пересечения графиков функций
у = х2 + 4х – 3
у = х2 – х + 3
у = х2 + 2х + 1 с осью Оу.

не прибегая к построению?

Отлично!

Кто мог бы дать ответ

в общем случае?

осью Оу в общем случае, для квадратичной функции, заданной

уравнением у = ах2 + bх + с, (0; с).

Нужно выявить метод поиска.

Шаг 1: Точка пересечения с осью Оу имеет абсциссу, равную 0. Это ясно.

Шаг 2: Теперь нужно понять, как найти ординату. – Правильно, подставить абсциссу (0) в уравнение и найти у. Получим у = с!

Вопрос: можно ли, несколько модифицировав, применить этот метод к поиску точек пересечения с осью Ох?