Презентация на тему Кривые второго порядка

место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух

фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

В такой системе координат:
F1(–c;0) и F2(c;0) ,
где |OF1| = |OF2| = c.

которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой

координат.

x=±a, y=±b.
2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и

две оси симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью.
3) Из уравнения эллипса получаем:

называются вершинами эллипса.
Отрезок A1A2 и его длина 2a

называются большой (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – малой осью.
Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно.
Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.

Величина ε характеризует форму эллипса.
Зная эксцентриситет эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x;y):

Замечания.
1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для этой кривой

Геометрически, это означает, что точки кривой равноудалены (на расстояние r) от ее центра O, т.е. кривая является окружностью.
Каноническое уравнение окружности принято записывать в виде x2 + y2 = r2 , где r – расстояние от любой точки окружности до ее центра; r называют радиусом окружности.

F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом

расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox, фокусы имеют координаты F1(0;–c) и F2(0;c) , где

Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных

точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

В такой системе координат:
F1(–c;0) и F2(c;0) ,
где |OF1| = |OF2| = c.

которой гипербола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой

координат.

ограниченной прямыми x=±a.
2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат)

и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.
3) Из уравнения гиперболы получаем:

точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю

при удалении точки M от начала координат.
Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности.
Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k1,2x+b1,2 , где

A1A2 и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью,

отрезок B1B2 и его длина 2b – мнимой осью.
Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно.
Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.

Величина ε характеризует форму гиперболы.
Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y). Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x > 0), то

Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то

называется равнобочной.
Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны.
⇒ можно выбрать

систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет
xy=0,5a2 . (3)
Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гипер- болы, отнесенной к асимптотам.

F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0),

но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид

Для этой гиперболы:
действительная ось – ось Oy,
мнимая ось – ось Ox,
F1(0;–c) и F2 (0;c) (где )

асимптоты:

фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на

прямой ℓ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой ℓ и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ℓ) одинаково.
Точку F называют фокусом параболы, прямую ℓ – директрисой.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, директриса параболы ℓ была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до ℓ было одинаковым.

В такой системе координат:
F (0,5p;0) и ℓ: x + 0,5p =0 ,
где p – расстояние от F до ℓ .

2px
называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в

которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

≥ 0.
2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).

Ось симметрии параболы называют осью параболы.
3) Из уравнения параболы получаем:

≥ 0.
2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).

Ось симметрии параболы называют осью параболы.
3) Из уравнения параболы получаем:

вершиной параболы,
Число p называется параметром параболы.
Если M

– произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была

перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.

Тогда получим для параболы уравнение
y2 = –2px, (5)
а для директрисы и фокуса:
F(–0,5p;0) и ℓ : x – 0,5p = 0.

Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy

и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):

Тогда уравнение параболы будет иметь вид x2 = ±2py, (6)
а для директрисы и фокуса получим:
F(0; ± 0,5p) и ℓ : y ± 0,5p = 0.
Уравнения (5) и (6) тоже называются каноническими уравнениями параболы, а соответствующие им системы координат – каноническими системами координат.

(8) называют формулой преобразования координат точки при переносе начала

координат в точку C(x0;y0).

+ Cy2 + 2Dx + 2Ey + F =

0 (13)
С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) может быть приведено к виду:

ВЫВОД: Уравнение (13) определяет кривую, каноническая система координат которой параллельна заданной, но имеет начало в точке C(x0,y0).
Говорят: уравнение (13) определяет кривую со смещенным центром (вершиной), а уравнение (14) называют каноническим уравнением кривой со смещенным центром (вершиной).

если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить

и без уравнения (14). А именно:
1) если AC = 0, то кривая является параболой;
2) если AC < 0, то кривая является гиперболой;
3) если AC > 0, A ≠ C– эллипсом;
4) если AC > 0, A = C – окружностью.

– произвольная точка эллипса или гиперболы.
ri = | MFi

| , di = d(M,ℓi)
ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство

ЗАМЕЧАНИЕ. По определению параболы r = d. ⇒ параболу можно считать кривой, у которой эксцентриситет ε = 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) есть величина постоянная и равная ε , называется
1) эллипсом, если ε<1 ; 2) гиперболой, если ε>1;
3) параболой, если ε = 1.

= β .С физической точки зрения это означает:
1) Если

источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе.
2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса.
3) Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси.

геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют

уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – многочлен степени 2.
⇒ в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .
Поверхности второго порядка делятся на
1) вырожденные и 2) невырожденные
Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка).
Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют

уравнению

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида.

Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.
Если две

из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

сферой.
Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде
x2 +

y2 + z2 = r2,
где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы.
С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат

удовлетворяют уравнению

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

гиперболоида.
Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения.

Он получается в результате вращения гиперболы

вокруг своей мнимой оси.

тоже определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

Замечание. Уравнения

координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

гиперболоида.
Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения.

Он получается в результате вращения гиперболы

вокруг своей действительной оси.

тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

Замечание. Уравнения

пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют

уравнению

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

Центр симметрии O называется вершиной конуса.
Если a=b, то

конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой

вокруг оси Oz .

Замечание. Уравнения

тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют

уравнению

где a, b – положительные константы.

Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

O называется вершиной параболоида.
Если a=b, то параболоид

является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы

вокруг оси Oz.

Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).

Замечания: 1) Уравнение

тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз.

2) Уравнения

определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.

координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
где

a, b – положительные константы.

Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

1) Уравнение
тоже определяет параболоид, но «развернутый» вниз.

2) Уравнения

определяют параболоиды, «вытянутые» вдоль осей Oz и Oy соответственно.

Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль

некоторой кривой (называемой направляющей) .
Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.