Презентация на тему Комплексные числа

в котором а и b – действительные числа, а

i – некоторый символ такой, что



Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z)

Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b)
Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

называются равными, если а = с и b =

d.

Комплексное число a-bi называется
комплексно сопряженным с числом a+bi
и обозначается через
= a-bi

Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.

= (a; b) и
w = (c; d) называется

комплексное число
(a+c; b+d).
Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое числоu, которое в сумме с числом w даёт число z
z = w + u.

= (a – c; b – d).
Произведением комплексных чисел

z = (a; b) и
w = (c; d) называют комплексное число
(ac – bd; ad + bc)

Частным от деления z на w называют число u, равное:

u

i делится на 4, то значение степени равно 1,

если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i, если при делении показателя на 4 остаток равен 2, то значение степени равно -1, если в остатке при делении показателя на 4 будет 3, то значение степени равно –i.

, 3) i216 ,4)i137
Решение:
1) i66

66:4=16(2). Остаток равен

2, значит i66=-1

2)i143
143 :4=35(3).В остатке 3, значит i 143=-i

3)i216
216:4=54(0).в остатке 0, значит i216=1

4)i137

137:4=34(1).В остатке 1, значит i137=i

,

координатами (a,b) соответствует один и только один вектор
с началом

в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi

y

x

M(a;b)

0

b

a

M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию

точки M (a,b) от начала координат


Если на плоскости ввести полярные координаты (r,φ), где φ аргумент числа z (φ=argz) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS φ, b = r SIN φ
В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ),
где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox

его запись в виде:
z = r(cosφ + isinφ),

где - модуль, а
φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:

Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.

Сначала находим

модуль числа:

Далее, согласно формулам (*),

имеем:

Учитывая, что угол

Итак,

умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули

перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).

(1)

(2)

Используя формулу (1), находим:

+ iSinφ) в натуральную степень n
модуль данного числа возводится

в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени:

формула Муавра

r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных значений, которые

находятся по формуле :

Здесь к = 0, 1, 2, … n-1

Корнями данного уравнения

являются все значения Для числа - 4 имеем r =2,
Согласно формуле(3),
находим:

Если к = 0, то

Если к = 1, то

Если комплексному числу
, модуль которого равен

1, поставить в соответствие
показанное выражение

, то получим соотношение

то получим соотношение которое называется формулой Эйлера.
Любое комплексное число

можно записать в виде

. Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

тогда показательная форма числа имеет вид
.

в показательной форме.

Решение. Что бы представить число

в виде

нужно найти модуль и аргумент числа

.

Здесь

тогда

так как точка

лежит на мнимой оси комплексной плоскости.

Зная r и

, получим

.

комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление,

возведение в степень производится по правилам действий со степенями.

Так, для произведения и частного комплексных чисел

и

справедливы формулы

а для n-й степени комплексного числа используется

формула

k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1.

анализа
Пусть D – некоторая область на комплексной плоскости
Определение.

Функцией комплексного аргумента с областью определения D называется соответствие,которое любому комплексному числу сопостовляет одно или несколько комплексных значений.
Таким образом, в отличие от действительного анализа, в комплексном анализе допускаются многозначные функции. Например,

f(z)=az+b (a, b – фиксированные комплексные числа)-однозначная функция;
- однозначная функция

- n-значная функция;

-бесконечнозначная функция.
Если функция однозначна,то она может быть задана в виде отображения В таком случае функция называется однолистной .В дальнейшем, если не указано особо,будем рассматривать однолистные функции.

найти


Решение: Подставим в место z значение i в функцию





Ответ: f(i)=1

Представим

z в алгебраической форме Значение f(x)-комплексное число,т.е. ,которое также можем представить в алгебраической форме ,где и -действительные функции комплексного аргумента,но задание я эквивалентно заданию пары(x,y).Окончательно,любую функцию комплексного аргумента можно представить в виде
,где и -действительные функции двух действительных переменных.Функции u и v называются компонентами функции f(z),u- действительная компонента,v-мнимая компонента.Пишут :

найти ее действительную и мнимую часть.
Решение:
(x+iy)2+4i=x2+2ixy-y2+4i=(x2-y2)+(2xyi+4i)=(x2-y2)+i(2xy+4).

Тогда действительная часть функции f(z) - x2-y2,а
мнимая - 2xy+4.