Презентация на тему Исследовательский проект Решение квадратных уравнений

сeзaмы.» С. Кoвaль


Актуальность:
современные научно-методические исследования показывают, что использование разнообразных методов

и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

способы решения квадратных уравнений, выделить эффективные способы решения и

показать их практическое применение.
Задачи:

способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

Методы

исследования:
теоретический, математический, графический.

алгебры от учителя. Особенно меня заинтересовали способы их решения,

причем наиболее рациональные.
Во-первых, удивило сочетание слов «квадратное», «уравнение».
Во-вторых, чем знамениты эти уравнения.
В-третьих, почему их решением так долго занимались великие ученые.
В-четвертых, способы решения квадратных уравнений и их практическая значимость.

вида ax2 +bx + c = 0,
где х

- переменная,
а,b,с – некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют
неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0; 2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0; 3) ах2 = 0.

котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое

применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных, трансцендентных уравнений и неравенств.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне;
Квадратные уравнения в Индии;
Квадратные уравнения у ал-Хорезми;
Квадратные уравнения в Европе ХIII- XVII вв.

выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 8х

-9= х2 + 2• х • 4-9.



Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 42. Имеем:

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

0; x1 = - 5 и x2 = 1,

так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1,
так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

А) x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1,
так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1,
так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

+ с = 0, где, а ≠ 0.
Умножая обе

его части на, а, получаем уравнение
а2х2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к
уравнению у2 + by + ас = 0, равносильно данному.
Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
х1 = у1/а и х1 = у2/а.
При этом способе коэффициент, а умножается на
свободный член, как бы «перебрасывается» к нему,
поэтому его называют способом «переброски».
Этот способ применяют, когда можно легко найти
корни уравнения, используя теорему Виета и, что
самое важное, когда дискриминант есть точный
квадрат.

= 0, где а ≠ 0.
1) Если, а+ b

+ с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.
2)Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней
можно записать в виде

+ с = 0, а ≠0
D=b2 - 4ac –

дискриминант
1)D> 0, два корня

2)D=0, единственный корень

3)D<0, корней нет.

= 0 , х2 = - px -

q.
Графики зависимости у = х2 и у = - px - q.
График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат.
График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи:
прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

= 0
х2 = 3х + 4.
Построим параболу у =

х2
прямую у = 3х + 4.
Прямая и парабола пересекаются
в точках Аи В
с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4.
Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.

= 0.
х2 = 2х - 1.
Построим

параболу у = х2
прямую у = 2х - 1.
Прямая и парабола пересекаются
в точке А с абсциссой х = 1.
Ответ: х = 1.

= 0
х2 = 5х - 5.
Построим параболу

у = х2
прямую у = 2х - 5.
Прямая и парабола не имеют точек
пересечения,
т.е. данное уравнение
корней не имеет.
Ответ.
Уравнение х2 - 2х + 5 = 0
корней не имеет.

- 9z + 8 = 0 номограмма дает корни

z1 = 8,0 и z2 = 1,0
2)Решим с помощью номограммы уравнение
2z2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение
z2 - 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
3) Для уравнения
z2 - 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение
t2 - 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4,
откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0
 

39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат

и десять корней равны 39»

фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Изученные способы

решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных. В ходе выполнения своей работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.
Проанализировав все новые способы решения квадратных уравнений, я увидела, что нельзя однозначно сказать, какой именно метод наиболее удобен или совершенен. Все они хороши, но каждый в своем конкретном случае.
Я пришла к выводу, что все способы надо иметь в своем арсенале и применять их по мере необходимости с точки зрения рациональности решения.

решения квадратных уравнений, которые не изучаются в школе.
Нужно

отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ. Данные буклеты я раздам одноклассникам и ученикам других классов. Они могут воспользоваться собранными в буклет-памятку материалами для изучения и закрепления рациональных способов решения квадратных уравнений. В дальнейшем я планирую провести опрос, насколько интересна информация, предложенная в буклете, и используют ли они данные способы для решения квадратных уравнений, если да, то какой способ они считают наиболее простым и понятным

6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. -

М., Просвещение, 1981.
2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.
3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.
4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.
5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.
6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.
7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.