Презентация на тему Погрешности и приближенные числа

правил, выработанных практикой, которые позволяют экономить труд вычислителя и

рационально использовать вычислительную технику. Одно из таких правил – разработка подробной вычислительной схемы.

арифметических операций.
Основные свойства решений.

Время, отводимое на каждый раздел: 5-10

минут.

свойства решений

точного а и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно,

что а*< а , то а* называют приближенным значением числа а по недостатку; если же а* > а, то - по избытку.

называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой

слева.
Значащую цифру числа а* называют верной, если абсолютная погрешность числа не превышает единицу разряда, соответствующего этой цифре.
Пример: Δ (a*) =0, 000002, a* =0, 0103000 – 4 верных цифры.

его другим числом с меньшим числом значащих цифр.
Погрешность

такой замены называется погрешностью округления.
Виды округления:
Усечение – отбрасывание всех цифр, расположенных слева от значащей цифры. Абсолютная погрешность не превышает единицы разряда.
Округление по дополнению – при разряде, меньшим 5, остается та же цифра, при большем или равном 5 добавляется 1. Абсолютная погрешность не превышает ½ разряда последней оставляемой цифре.
Границы погрешностей всегда округляют в сторону увеличения.

с n верными знаками.
Начало таблицы.

с n верными знаками.
Окончание таблицы.

понятия:
Машинный нуль.
Машинная бесконечность.
Переполнение.
Исчезновение порядка.

0
Xo
-Xo



Машинная бесконечность
Машинная бесконечность
Машинный нуль
X-∞
X∞

чем X∞, рассматриваются, как машинная бесконечность, и попытка получить

такое число приводит к аварийному останову по переполнению. Числа, меньшие по модулю, чем Xo представляются машинным нулем. При получении таких чисел возможно исчезновение порядка (или антипереполнение).
Для двоичных чисел при потери точности вычислений используют так называемую удвоенную точность.

с 6 двоичными разрядами мантиссы, в которой округление происходит

только по дополнению.
Выполнить арифметические действия для двух чисел в двоичном коде:
a=20.5D=10100.1B; b=1.75D=1.11B
a+b=22.25D; a*b=35,785D
a+b=10100.1+1.11=101101.01B ≈10110.1B =22.5D
a*b=10100.1*1.11=1100011.111B ≈100100.1B =36D

по так называемому машинному эпсилону εм. Машинный эпсилон εм

– это минимальное из представленных чисел ε, для которых 1 εм > 1
Алгоритм проверки (вставка в фрагмент программы):
Задается шаг ε(о)=1, проводится вычисление,
Задается шаг ε(1)=0.5 ε(о) проводится вычисление и проверяется неравенство 1 ε > 1
…………………………………………………………………………………
n. Задается шаг ε(n)=0.5 ε(n-1) проводится вычисление и проверяется неравенство 1 ε > 1
Если неравенство выполняется, то принимается εм= ε(n-1) и переходят к следующему этапу вычислений.

= 0.000001,
т. к. 1+ εм =1.000001, тогда 1

εм =1.00001
Если же к 1 добавить любое положительное число ε < εм , то в седьмом разряде результата будет стоять нуль, и после округления получается:
1 ε = 1

используется ошибка вычислений приближенного числа:
Error = |a-a*|/(1+a)

Error→ Δ

(a*) при |a|<<1
Error→ δ(a*) при |a|>>1

b*) ≤ Δ (a*) + Δ (b*)
δ (a*+

b*) ≤ δmax ; δ (a*- b*) ≤ v*δmax
δmax = max{δ (a*), δ (b*) }, v=|a+b|/|a-b|
Относительные погрешности произведения и частного: Δ (a*+ b*) ≤ Δ (a*) + Δ (b*)
δ(a* b*) ≤ δ (a*) + δ (b*) + δ (a*) * δ (b*)
δ(a*/ b*) ≤ (δ (a*) + δ (b*))/(1- δ (b*))
Границы относительных погрешностей:
δ(a* b*) ≈ δ (a*) + δ (b*) ≈ δ(a*/ b*)

1) ее решение y, принадлежащих Y, существует при всех

входных x, принадлежащих X. 2) это решение единственное 3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных величин.
Единственность вычислительной задачи. Задача должна иметь единственное решение.
Устойчивость вычислительной задачи. Задача устойчива по входным данным, если для любого ε>0 существует
δ= δ(ε)>0 такое, что всякому исходному x* при котором Δ(x*) < δ , соответствует y*, для которого Δ(y*) < ε .
Т. е. решение y зависит от входного x непрерывным образом.
Относительная устойчивость решения – замена Δ на δ.