Презентация на тему Предел последовательности чисел

ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью

и обозначают у = f (n) или у1, у2, у3,…, уn,…, или (уn).

(аn) – последовательность
а1 ; а2 ; а3 ;…. аn - члены последовательности Первый n-ый
член послед. член послед.

Последовательность

описываются словами, без указания формул или когда закономерности между

элементами последовательности нет.

Способы задания числовой последовательности

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .
Пример 2. Произвольный набор чисел:
1,4,12,25,26,33,39,… .
Пример 3. Последовательность четных чисел: 2,4,6,8,10,12,14,16,… .

n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.
Способы задания

числовой последовательности

Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n.
Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел:
у = n².
Пример 3. Стационарная последовательность: у = С
С, С, С, С,…,С,…
Пример 4. Последовательность у = n² - 3n
– 2, -2,0,4,10,…
Пример 5. Последовательность у = 2ⁿ
2, 2²,2³,…,2ⁿ,…

элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент.
Способы задания

числовой последовательности

Пример 1. a1 = 3 an+1 =
a1=3 a3 = 92 = 81
a2 = 32 = 9 a4 = 812 = 6561
Пример 2. Арифметическая прогрессия аn+1= аn+d,
d - разность арифметической прогрессии.
Пример 3. Геометрическая прогрессия bn+1= bnq,
q – знаменатель геометрической прогрессии.

7, 7, 9, 6…
Продолжите ряд 77, 49, 36,

18…

Ответ: Перемножаются две цифры, входящие
в предыдущее число

Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7

Примеры последовательностей.

34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…
Числа Фибоначчи.
Элементы

числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Леонардо Фибоначчи - итальянский математик.
(родился около 1170 — умер после 1228),

Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

все ее члены не больше некоторого числа.
Последовательность (уn)

ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности.

Например: -1, -4, -9, -16,…, - n² ,…

Верхняя граница - -1

все ее члены не меньше некоторого числа.
Последовательность (уn)

ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≥ m. Число m называют верхней границей последовательности.

Например: 1, 4, 9, 16,…,n²,…

Нижняя граница - 1

ее называют ограниченной последовательностью.
Ограниченность последовательности означает, что все члены

последовательности принадлежат некоторому отрезку.

0. Говорят последовательность (уn) сходится.
У последовательности (уn) такой «точки

сгущения» нет. Говорят последовательность (уn) расходится.

если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся

все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Читают: предел последовательности (уn) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (уn) равен b.

– r; а + r ) называется окрестностью точки

а, а число r – радиусом окрестности
.

Если |q| > 1, то последовательность уn = qⁿ расходится.

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности
lim C = C

только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то

она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
( теорема Вейерштрасса).

lim yn = c ,то
предел суммы равен

сумме пределов:
lim ( xn + yn ) = b + c ;
предел произведения равен произведению
пределов: lim ( xn yn ) = bc ;
предел частного равен частному пределов:
lim = , c ≠ 0 ;
постоянный множитель можно вынести
за знак предела: lim ( kxn ) = kc .