Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Содержание

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Приемы доказательства неравенств, содержащих переменныеАвтор: Жагалкович Полина СергеевнаУчебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-АмуреАдрес Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых x 2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно, что Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для любых для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство. Рассмотрим Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.Пример *33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли Рассмотрим каждое Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство. Запишем Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство. Положив х=0,5 и применив Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
Слайды презентации

Слайд 2 Если вы хотите участвовать в большой жизни, то

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову

наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.

Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Слайд 3 Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть

слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1.

Доказать что для любого хϵR

Доказательство. 1 способ.

2 способ.


для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.

для хϵR

для хϵR

для хϵR т. к.

Слайд 4 для любых действительных х и у
Пример 2. Доказать,

для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых

что для любых x и y

Доказательство.


Пример 3. Доказать,

что
Доказательство.

Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.


Слайд 5 2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного

2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что

метода.
Доказать, что

для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что .
Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Слайд 6 Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно,

справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для

неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:
, что является обоснованием исходного неравенства.

Слайд 7 Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для

и С, для которых выполняется неравенство






, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Слайд 8 для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на

для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного

свойстве неотрицательности квадратного трехчлена ,

если
и .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть , a=2, 2>0
=>

Слайд 9 для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных

для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у

х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую

часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D<0
D= => P(x)>0 и
верно при любых действительных значениях х и у.


Слайд 10 Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х

Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть

и у.
Доказательство. Пусть ,


Это означает, что для любых

действительных у и неравенство
выполняется при любых действительных х и у.

для хϵR

Слайд 11 Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9.

Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для

Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z



Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,
.


Получаем исследуемое неравенство

Слайд 12 для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых

для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство.

а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то

верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
( )* ( )>0, что доказывает неравенство

Слайд 13 Пример 11. Докажем, что для любых

Доказательство.


на

Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если

R.
Если , то знаки чисел

и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Слайд 14 Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства

Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных

неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого

nϵN

Проверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)

Слайд 15 *3
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.


Сравним

*33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним и

и

: ,

Имеем:


Вывод: утверждение верно для любого nϵN.



Слайд 16 Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши

Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли Рассмотрим

– Буняковского
Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.




Слайд 17 Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше

неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического

, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

Слайд 18 Пусть n=2, ,

Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, тогдаПусть n=3,

, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, ,

, , тогда

Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.

Слайд 19 Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает,

Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых

что для любых ; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет

геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Слайд 20 Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство.

R справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это

заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
 

Слайд 21 Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то

Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных

для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться

для выражений вида


Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Слайд 22 Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство. Положив х=0,5 и

N

Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения

, получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.
  • Имя файла: priemy-dokazatelstva-neravenstv-soderzhashchih-peremennye.pptx
  • Количество просмотров: 151
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Государственная территория России
Следующая - Дисперсные системы

Похожие презентации

Показательные уравнения Показательные уравнения 190
Презентация по алгебре Построение квадратичной функции (9 класс) Презентация по алгебре Построение квадратичной функции (9 класс) 173
Презентація 7 клас з алгебри Множення многочленів у стовпчик Презентація 7 клас з алгебри Множення многочленів у стовпчик 179
Презентация по алгебре на тему Пик знаний Презентация по алгебре на тему Пик знаний 83
Математический турнир 7 класс Математический турнир 7 класс 131
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла 216
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 141
Презентация на урок алгебры 8 класс тема Решение квадратных уравнений по формуле Презентация на урок алгебры 8 класс тема Решение квадратных уравнений по формуле 166
Презентация по алгебре на тему Применение нескольких способов разложения многочлена на множители(7 класс). Презентация по алгебре на тему Применение нескольких способов разложения многочлена на множители(7 класс). 169
Роо Роо 195
Презентация к уроку Объемы тел вращения Презентация к уроку Объемы тел вращения 148
Презентация Понятие о числе е, производная и первообразная показательной функции Презентация Понятие о числе е, производная и первообразная показательной функции 201
Преобразование графиков функций, содержащих модуль Преобразование графиков функций, содержащих модуль 179
Функция Функция 211
Презентация к уроку алгебры в 8 классе по теме Квадратные уравнения Презентация к уроку алгебры в 8 классе по теме Квадратные уравнения 165
Решение тригонометрических неравенств. Решение тригонометрических неравенств. 159
Линейная функция Линейная функция 160
Линейная функция Линейная функция 148
Введение понятия множества Введение понятия множества 157
Презентация по алгебре Свойства степеней с натуральным показателем (7класс) Презентация по алгебре Свойства степеней с натуральным показателем (7класс) 155
Презентация урока по математике для 11 класса на тему Решение тригонометрических задач при подготовке к ЕГЭ Презентация урока по математике для 11 класса на тему Решение тригонометрических задач при подготовке к ЕГЭ 164
Презентация:Функцияның қасиеттерін пайдаланып есептер шығару,(10 сынып) Презентация:Функцияның қасиеттерін пайдаланып есептер шығару,(10 сынып) 375
Презентация по алгебре 7 класс Числовые и алгебраические выражения Презентация по алгебре 7 класс Числовые и алгебраические выражения 171
Презентация по алгебре 9 класс Арифметическая прогрессия Презентация по алгебре 9 класс Арифметическая прогрессия 185
Производная сложной функции Производная сложной функции 136
Математическая игра Своя Игра для учеников 8-9 классов Математическая игра Своя Игра для учеников 8-9 классов 171
Игра №2 Игры разума по заданиям ОГЭ (по заданиям 1 части) Игра №2 Игры разума по заданиям ОГЭ (по заданиям 1 части) 139
Презентация по алгебре на тему: Функция. Прямая пропорциональность Презентация по алгебре на тему: Функция. Прямая пропорциональность 170
Презентация к уроку по теме Алгебраические дроби Презентация к уроку по теме Алгебраические дроби 163
Презентация по алгебре Своя игра (7-8 класс) Презентация по алгебре Своя игра (7-8 класс) 176