Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Содержание

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Приемы доказательства неравенств, содержащих переменныеАвтор: Жагалкович Полина СергеевнаУчебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-АмуреАдрес Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых x 2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно, что Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для любых для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство. Рассмотрим Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.Пример *33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли Рассмотрим каждое Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство. Запишем Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство. Положив х=0,5 и применив Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
Слайды презентации

Слайд 2 Если вы хотите участвовать в большой жизни, то

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову

наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.

Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Слайд 3 Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть

слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1.

Доказать что для любого хϵR

Доказательство. 1 способ.

2 способ.


для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.

для хϵR

для хϵR

для хϵR т. к.

Слайд 4 для любых действительных х и у
Пример 2. Доказать,

для любых действительных х и уПример 2. Доказать, что для любых

что для любых x и y

Доказательство.


Пример 3. Доказать,

что
Доказательство.

Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.


Слайд 5 2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного

2. Метод от противногоВот хороший пример применения данного метода.Доказать, что

метода.
Доказать, что

для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что .
Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Слайд 6 Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно,

справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для

неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:
, что является обоснованием исходного неравенства.

Слайд 7 Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для

и С, для которых выполняется неравенство






, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Слайд 8 для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на

для хϵRдля хϵRИспользование свойств квадратного трехчленаМетод основан на свойстве неотрицательности квадратного

свойстве неотрицательности квадратного трехчлена ,

если
и .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть , a=2, 2>0
=>

Слайд 9 для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных

для хϵRПример 7. Доказать, что для любых действительных х и у

х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую

часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D<0
D= => P(x)>0 и
верно при любых действительных значениях х и у.


Слайд 10 Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х

Пример 8. Доказать, чтодля любых действительных значениях х и у.Доказательство. Пусть

и у.
Доказательство. Пусть ,


Это означает, что для любых

действительных у и неравенство
выполняется при любых действительных х и у.

для хϵR

Слайд 11 Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9.

Метод введения новых переменных или метод подстановкиПример 9. Доказать, что для

Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z



Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,
.


Получаем исследуемое неравенство

Слайд 12 для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых

для аϵRИспользование свойств функций.Пример 10. Докажем неравенстводля любых а и b.Доказательство.

а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то

верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
( )* ( )>0, что доказывает неравенство

Слайд 13 Пример 11. Докажем, что для любых

Доказательство.


на

Пример 11. Докажем, что для любыхДоказательство. на R.Если

R.
Если , то знаки чисел

и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Слайд 14 Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства

Применение метода математической индукцииДанный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных

неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого

nϵN

Проверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)

Слайд 15 *3
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.


Сравним

*33) Докажем истинность утверждения при n=k+1.Сравним и

и

: ,

Имеем:


Вывод: утверждение верно для любого nϵN.



Слайд 16 Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши

Использование замечательных неравенствТеорема о средних (неравенство Коши)Неравенство Коши – БуняковскогоНеравенство Бернулли Рассмотрим

– Буняковского
Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.




Слайд 17 Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше

неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического

, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

Слайд 18 Пусть n=2, ,

Пусть n=2, , , тогдаПусть n=2, a>0, тогдаПусть n=3,

, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, ,

, , тогда

Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.

Слайд 19 Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает,

Неравенство Коши - БуняковскогоНеравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых

что для любых ; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет

геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Слайд 20 Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенствоДоказательство.

R справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это

заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
 

Слайд 21 Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то

Неравенство БернуллиНеравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных

для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться

для выражений вида


Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Слайд 22 Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ NДоказательство. Положив х=0,5 и

N

Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения

, получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.
  • Имя файла: priemy-dokazatelstva-neravenstv-soderzhashchih-peremennye.pptx
  • Количество просмотров: 147
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Государственная территория России
Следующая - Дисперсные системы

Похожие презентации

Дидактическая игра Слово по теме Перевод радианной меры угла в градусную меру Дидактическая игра Слово по теме Перевод радианной меры угла в градусную меру 146
Презентация ЕГЭ: Вероятность и ремонт Презентация ЕГЭ: Вероятность и ремонт 205
Презентация к практикуму по теме Финансовая математика. Кредитные истории с равными и дифференцированными платежами Презентация к практикуму по теме Финансовая математика. Кредитные истории с равными и дифференцированными платежами 178
Производная показательной, логарифмической и степпеной функци Производная показательной, логарифмической и степпеной функци 198
Презентация по теме Арифметическая и геометрическая прогрессии (обобщающий урок) 9 кл Презентация по теме Арифметическая и геометрическая прогрессии (обобщающий урок) 9 кл 153
Презентация Геометрическая прогрессия в экономике Презентация Геометрическая прогрессия в экономике 178
Шаблоны презентаций ЕГЭ Шаблоны презентаций ЕГЭ 187
Презентация по математике по теме Арифметическая прогрессия Презентация по математике по теме Арифметическая прогрессия 183
Презентация по математике Франсуа Виет и его теорема Презентация по математике Франсуа Виет и его теорема 206
Презентация по подготовке к ОГЭ математика Презентация по подготовке к ОГЭ математика 193
Презентация к циклу уроков по алгебре в 11 классе по теме Комбинаторика Презентация к циклу уроков по алгебре в 11 классе по теме Комбинаторика 180
Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері. (10 класс, алгебра) Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері. (10 класс, алгебра) 206
Презентация по математике А-9_У-22_Методы решения систем уравнений Презентация по математике А-9_У-22_Методы решения систем уравнений 153
Решу ВПР: решение линейных уравнений. Часть 2 Решу ВПР: решение линейных уравнений. Часть 2 166
Презентация к занятиям по внеурочной деятельности по теме Принцип крайнего Презентация к занятиям по внеурочной деятельности по теме Принцип крайнего 260
Основы логики. Алгебра высказываний Основы логики. Алгебра высказываний 150
Презентация по математике на тему: Системы линейных уравнений с двумя переменными Презентация по математике на тему: Системы линейных уравнений с двумя переменными 139
Стандартный вид одночлена Стандартный вид одночлена 235
Презентация по алгебре 10 Логарифмы Презентация по алгебре 10 Логарифмы 71
Игра по математике Игра для презинцессы Игра по математике Игра для презинцессы 213
Логические функции Логические функции 209
Презентация по математик на тему: Путешествие к замку Камелота Презентация по математик на тему: Путешествие к замку Камелота 164
Графики функции Графики функции 141
Урок-сказка по математике Проценты. 6-й класс Урок-сказка по математике Проценты. 6-й класс 164
Решение систем уравнений второй степени Решение систем уравнений второй степени 157
Презентация по математике Решение неравенств с одной переменной Презентация по математике Решение неравенств с одной переменной 152
Десятичные дроби Десятичные дроби 161
Презентация Формулы сокращённого умножения. Презентация Формулы сокращённого умножения. 175
Решение комбинаторных задач Решение комбинаторных задач 234
Презентация по математике на тему Периодические функции Презентация по математике на тему Периодические функции 188