Презентация на тему Электронный образовательный ресурс для дистанционного обучения учащихся 8 класс по теме: Четыре замечательные точки треугольника

Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из

решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника.

было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века

они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.
        В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера".

века французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие

установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.
        Эта окружность называется "окружностью девяти точек", или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера". К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера.
        Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX – XX веков Лемуан, Брокар, Тебо и другие.

:
Медианой треугольника;
Биссектрисой треугольника;
Высотой треугольника;
Серединным перпендикуляром к отрезку

называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной

стороны.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороны
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему.

:ΔABC, AA₁, BB₁, CC₁ – биссектрисы ΔABC
Доказать :AA₁ ∩

BB₁ ∩ CC₁ = O.

Доказательство : Пусть AA₁ ∩ BB₁ = O, тогда если OK, OM, OL – перпендикуляры из O к сторонам ΔABC, то OK=OM, OK=OL – по свойству биссектрисы неразвернутого угла → OL=OM → O лежит на биссектрисе С (на СС₁) → AA1 ∩ BB1 ∩ CC1 = O.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

АВС пересекаются в точке М. Найдите угол АВМ, если

∠???=30°, ∠???=20°

А

В

С

М

Р Е Ш Е Н И

Е

к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Дано: ΔABC, m-серединный

перпендикуляр к AB,
n-серединный перпендикуляр к BC,
p-серединный перпендикуляр к AC.
Доказать: m ∩ n ∩ p = O.
Доказательство: m ∩ n =O, т.к.
если m параллельна n,
то m перпендикулярна BC, и через B
проходят 2 прямые AB, BC,
перпендикулярные к m, чего не может
быть.
По свойству серединного перпендикуляра
к отрезку, OA=OB, OB=OC → OA=OC → O
лежит на серединном перпендикуляре
к AC, т.е. на p → m ∩ n ∩ p=O.

- цент тяжести треугольника)
Медианы треугольника пересекаются в одной точке,

которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от вершины.

(ортоцентр)
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной

точке.

треугольника,
пересекаются в одной точке.
Дано: ΔABC, AA₁, BB₁, CC₁

–
высоты ΔABC.
Доказать: AA₁ ∩ BB₁ ∩ CC₁ = O.
Доказательство:
Проведем через каждую вершину
ΔABC прямую, параллельную
противоположной стороне. Получим ΔA₂B₂C₂.
A₂C=B₂C, B₂A=C₂A, A₂B=C₂B (объясните почему)
и по построению AA₁, BB₁, CC₁- перпендикуляры к сторонам ΔA₂B₂C₂ → AA₁ , BB₁, CC₁- серединные перпендикуляры к сторонам ΔA₂B₂C₂ → AA₁ ∩ BB₁ ∩ CC₁ = O.

перпендикулярна ВС, СF перпендикулярна АВ, АD пересекает CF в

точке М.
Докажите, что угол АВМ равен углу МСА.

треугольника.
Дайте определение биссектрисе треугольника.
Сформулируйте свойство биссектрисы неразвернутого угла и

обратное утверждение.
Сформулируйте теорему о биссектрисах треугольника.
Дайте определение серединному перпендикуляру к отрезку.
Сформулируйте свойство серединного перпендикуляра к отрезку и обратное утверждение.
Сформулируйте теорему о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника.
Дайте определение высоте треугольника.
Сформулируйте теорему о высотах треугольника.

Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

2. Точка пересечения

серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности.

3.Точка пересечения медиан, называется центром тяжести треугольника. (Центроид). .

4. Точка пересечения высот называется ортоцентр.

АС (ВС) (серединный перпендикуляр стороны АВ (АС)пересекает основание АС

(ВС) в точке Р (М). Найдите угол С (угол САМ), если АВР = 52˚(АВС = 43˚)
2. Постройте точку на катете прямоугольного треугольника, равноудаленную от гипотенузы и другого катета.
2.Постройте точку на боковой стороне равнобедренного треугольника, равноудаленную от основания и другой боковой стороны.

1 вариант (2 вариант)