Презентация на тему по геометрии на тему Теория по планиметрии (проектная работа)

формированию осознанных мотивов изучения геометрии
Развить интерес к изучению
геометрии

Изучить различные

умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и

Актуальность темы:

выявить общие подходы при решении задач по планиметрии, используя необходимый теоретический материал для успешного решения задачи С-4 на ЕГЭ

углубить свои знания по геометрии

процесс мышления

Структура работы :

Работа состоит из 14 глав, рассматриваются общие подходы к решению геометрических задач, при обилии их различных типов и многообразии их приемов и методов решения

и е
Необходимые теоретические знания по планиметрии при решении задания

Глава 1. Медиана прямоугольного треугольника

Глава 2. Удвоение медианы

Глава 3. Параллелограмм. Средняя линия треугольника

Глава 4. Трапеция

Глава 5. Нахождение высот треугольника

Глава 6. Отношение отрезков

Глава 7. Отношение площадей

Глава 8. Касательная к окружности

Глава 9. Касающиеся окружности

Глава 10. Пересекающиеся окружности

Глава 11. Окружности, связанные с треугольником и четырехугольником

Глава 12. Пропорциональные отрезки в окружности

Глава 13. Углы, связанные с окружностью. Метод вспомогательной окружности

Глава 14. Подобные треугольники

Заключение

Список литературы

выводится с помощью логических рассуждений)
алгебраический
(геометрическая величина вычисляется с помощью

комбинированный
(на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим)

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Г. Лейбниц

Глава 1. Медиана прямоугольного треугольника

При решении задач этой главы используются следующие свойства:

1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла . Равна половине гипотенузы.

2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный

веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

Глава 2. Удвоение медианы

Во многих случаях для решения задачи удобно применить дополнительное построение - удвоение медианы.

На продолжении медианы ВМ треугольника АВС за точку М отложим отрезок MD, равный BМ. Тогда диагонали АC и ВD четырёхугольника ABCD точкой пересечения М делятся пополам, значит, ABCD — параллелограмм. Далее применяем свойства параллелограмма.

Глава 3. Параллелограмм. Средняя линия треугольника

Для решения задач этого раздела нужно знать :

свойства и признаки параллелограмма;

теорему о медианах треугольника (медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника);

теорему о средней линии треугольника;

Свойство : сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон;

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

А

В

С

D

применять.

Глава 4. Трапеция

Ещё одно важное свойство трапеции - точка пересечения диагоналей любой трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

При решении задач на трапецию во многих случаях полезны дополнительные построения, связанные с параллельным переносом боковой стороны или диагонали.

При решении задач, связанных с равнобедренной трапецией, кроме общеизвестных свойств и признаков (углы при основании равны, диагонали равны и образуют равные углы с основанием и т. д.) иногда полезно применить следующее свойство:

2AM=AD-BC
AK=0,5(AD+BC)

поэзии.

Глава 5. Нахождение высоты прямоугольного треугольника

Нахождение высоты прямоугольного треугольника

S=

S=

h=

Глава 6. Отношение отрезков

Задачи этой главы решаются с помощью дополнительного построения, которое приводит к подобным треугольникам.

Пример. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причём АС = 2CN. Точка М находится на стороне ВС, причём ВМ : МС =1 : З. В каком отношении прямая MN делит сторону АВ?

Решение.
Через точку В проведём прямую, параллельную АС. Пусть прямая MN пересекает её в точке Т, а прямую АВ - в точке К.
Обозначим АС = а. Тогда CN = 0,5а, AN=1,5a. Из подобия треугольников ТВМ и NCM нахом, что

ТВ=1/3СN=1/6a.

Из подобия треугольников ТВК и NAK –
ВК:АК=ТВ:AN=1/9.

Ответ:

1: 9, считая от точки В.

Глава7. Отношение площадей

При решении большинства задач этого раздела применяются два утверждения:
если точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС, то площади треугольников АМВ и АМС пропорциональны отрезкам ВМ и СМ, т.е.






2) если прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС (или их продолжения) в точках Р и Q соответственно, то

в воду, а если хотите научиться решать задачи, то

Глава 8. Касательная к окружности

При решении задач, связанных с касательной, чаще всего используются следующие свойства касательной:

Если из точки М, не лежащей на окружности с центром О, проведены к окружности две касательные МА и МВ
(А и В - точки касания),т о:
МА=МВ;
2) МО - биссектриса угла АМВ
3) прямая МО перпендикулярна отрезку АВ и делит его пополам.

скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить

Глава 9. Касающиеся окружности

Окружности касаются внешним образом, если их центры лежат по разные стороны от общей касательной

Окружности касаются внутренним образом, если их центры лежат по одну сторону от общей касательной

Свойство: прямая, проведенная через центры окружностей, проходит через точку касания

Примечание: если в условии задачи не указано каким образом касаются окружности, то необходимо рассматривать оба случая

теме используют свойство пересекающихся окружностей:
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. В. Шрадер

понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

Глава 11. Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником

.

Окружность, вписанная в треугольник

Вневписанные окружности

обозначения

r1,r2,r3 — радиусы вневписанных окружностей с центрами I1,I2,I3, касающиеся соответственно сторон a,b,c ; p — полупериметр треугольника; r — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности.

Свойства:
Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
 4R = r1 + r2 + r3 – r; S=pr ; S = (р — а)rа

Окружность, вписанная в четырехугольник

Окружность, описанная около четырехугольника

Свойство 1. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Свойство 2. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Свойство 1. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

Свойство 2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.

Глава 12. Пропорциональные отрезки в окружности

Теорема. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности
равны, т. е. если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то АМ • МВ = СМ • MD.

Теорема (о касательной и секущей). Если из точки, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной, т. е. если точка М расположена вне окружности, прямая, проходящая через точку М, касается окружности в точке С, а вторая прямая, проходящая через точку М, пересекает окружность в точках А и В, то МС2 = МА • МВ.

Следствие. Для данной точки М, данной окружности и любой прямой, проходящей через точку М и пересекающей окружность в точках А и В, произведение МА • МВ одно и то же.

применение в том или ином деле.

Глава 13. Углы, связанные с окружностью. Метод
вспомогательной окружности

Вписанный угол равен половине угловой величины соответствующего центрального угла (дуги).

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, т. е. если точки А и В лежат на окружности по одну сторону от прямой, содержащей хорду CD, то
LCAD = LCBD.

Если же точки А и В лежат по разные стороны от прямой CD, то
LCAD + LCBD =180°.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Угловая величина дуги - это угловая величина соответствующего этой дуге центрального угла.

Условия, при которых четыре точки лежат на одной окружности:

Метод вспомогательной окружности

Можно указать точку, равноудалённую от рассматриваемых точек А, В, С и D.

Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой CD, отрезок CD виден под одними тем же углом.

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О,
и при этом
ОА • ОВ = ОС•OD.

Точки А и В лежат на одной стороне неразвёрнутого угла с вершиной O, точки С и D -на другой, и при этом
ОА • ОВ = ОС • OD.

Точки А и В лежат по разные стороны от прямой CD, и при этом сумма углов САD и СВD равна 180°.

Из точек А и В отрезок CD виден под прямым углом

понять ее хотя бы наполовину.

Глава 14. Вспомогательные подобные треугольники

При решении задач этой главы ключевая идея состоит в отыскании пары подобных треугольников.

Пример. На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D, причём
LBCD = LBAC. Известно, что ВС = а, АС =b, АВ = с. Найдите CD.

Решение.

Треугольники CBD и АВС подобны по двум углам,т. к. LBCD = LBAC по условию, а угол при вершине В —общий. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны,
т.е. СD: АС=ВС:АВ. Следовательно,

CD=

Ответ:

никакой другой науки и даже не может обнаружить своего

Заключение

Надеюсь, что рассмотренные теоретические вопросы и решенные задачи помогут не только мне, но и другим обучающимся, заинтересовавшимся моей работой, в успешном решении задания С4 при выполнении ЕГЭ по математике.

Желаю удачи
в изучении геометрии !