Презентация на тему по геометрии 9 класс

свои знания по геометрии.
Узнать виды движения плоскости.
Применять знания полученные

в результате изучения данной темы при решении практических задач.

человек пытается понять порядок, красоту, совершенство окружающего мира. Изучая

математику мы «изучаем саму жизнь».
В повседневном языке под симметрией понимают чаще всего упорядоченность, гармонию, соразмерность. Кристаллы издавна восхищают нас своим совершенством, строгой симметричностью форм. Симметричные мозаики, фрески, архитектурные ансамбли будят в людях чувство прекрасного, музыкальные и поэтические произведения вызывают восхищение именно своей гармоничностью. В создании общей картины мира с его единством и многообразием свойств неживой и живой природы симметрия оказывает неоценимую услугу.

древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до н.э.).
Во

времена античной истории идеей движения пользовался и знаменитый Евклид.
Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880).
В (1849-1925) теорией движения занимался математик Кристиан Феликс Клейн.
В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалеса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии – основанную на рассмотрении движений.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

этой же плоскости, то дано отображение плоскости на себя.
Отображение

плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками называется движением.

→ М1N1.

1) Р лежит на MN
2) Р переходит в

Р1, МР + PN = =MN, М1N1=MN, M1P1=MP и N1P1=NP → M1P1+ N1P1= М1N1
3) P1 лежит на M1N1

себя, при котором любая точка

М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а

Для того, чтобы задать осевую симметрию, необходимо задать ось, относительно которой и будет осуществляться эта симметрия

Осевая симметрия:
1. Является движением, т.е сохраняет расстояние между точками.
2. Отрезок переводит в равный ему отрезок.
3. Треугольник переводит в равный ему треугольник.
4. Любое тело переходит в равное ему тело.

Осевая симметрия

относительно данной прямой?
Две точки А и А1 называются симметричными

относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна ему.
Как построить точку симметричную данной относительно прямой L?

А

L

А1

А

О

А1

L

симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается

на прямую, параллельную оси симметрии;

б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

симметрия – движение, поэтому образом прямой a является некоторая

прямая a’ .
Пусть а || b. Предположим, что прямые b и а’ не параллельны. Тогда они имеют общую точку обозначим её М. Так как М принадлежит b, то точка М отображается сама на себя, и, следовательно, М принадлежит а. Отсюда следует, что прямые а и b имеют общую точку М, что противоречит условию а || b. Следовательно, а' || b.

b

a’

а

а и b, а N – точка прямой а,

отличная от М. Так как а перпендикулярна b, то N’ лежит на прямой а. Очевидно, что М’, т. е. сама точка М, лежит на прямой а. Таким образом, прямые а и а` имеют общие точки: M и N', следовательно они совпадут.

a

М

N

N'

b

на себя, при котором любая точка М переходит в

симметричную ей относительно прямой а точку М1.

Симметрия

относительно вертикальной прямой

Симметрия относительно горизонтальной прямой Зеркальная симметрия имеет такие же свойства как и любая симметрия

М отображается в точку М1, что при этом центр

симметрии является серединой отрезка М М1.

A → A1
B → B1
AB →A1B1
AB =A1B1

относительно данной точки?
Две точки А и А1 называются симметричными

относительно точки, если эта точка является серединой отрезка АА1.
Как построить точку симметричную данной относительно некоторой точки О?

А

О

А1

А

О

А1

Так как центральная симметрия есть движение, то симметричные

фигуры равны. При центральной симметрии прямая отображается на параллельную ей прямую.

поворот вокруг центра симметрии на угол 180.(рис.1)

на себя, при котором каждая точка М отображается в

такую точку М1, что вектор ММ1 равен вектору а.

Параллельный перенос

М

М1

N

N1

а

есть движение, он сохраняет расстояние между точек.
Свойства: при

параллельном переносе прямая отображается параллельную ей прямую.
Параллельный перенос – сдвиг всей плоскости в направлении а , на его длину.

A → A1 B → B1 C → C1 D → D1

и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано

на рисунке. Используя перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, равен и параллелен стороне AD.

А

В

C

D

вектор AD. Так как ABCD- параллелограмм, то BC=AD, поэтому

при этом параллельном переносе точка В отображается в точку С. Отрезки АА1 и DA2 равны и параллельны, поэтому ADA2A1- параллелограмм, и, следовательно, А1А2=AD.Таким образом, при рассматриваемом параллельном переносе точка А1 отображается в точку А2, точка В - в точку С, и , значит, отрезок А1В отображается на отрезок А2С. Отсюда следует, что середина О1 отрезка А1В отображается в середину О2 отрезка А2С, т. е. О1О2= AD.
Поэтому О1О2= AD, О1О2|| AD.

A

B

D

C

O1

O2

A1

A2

плоскости вокруг точки О на угол α называют отображение

плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 равен α.

М → М1
ОМ→ОМ1
ОМ=ОМ1

элементы:
1. Центр поворота
2. Направление поворота ( по

часовой стрелки или против часовой стрелки)
3. Угол, на который будет осуществляться данный поворот

О- центр поворот α = 900
А → А1 ВО →ОВ1 В → В1 ВО=ОВ1 АО→ОА1 АОВ →А1ОВ1 АО=ОА1 АОВ =А1ОВ1

Выясним , какое движение получается в результате последовательного

выполнения двух осевых симметрий с различными осями а и в. Возможны два случая:
1. прямые l и m параллельны
22. прямые l и m пересекаются

l и m и введем систему координат так, чтобы

ось Ох совпала с прямой l, а прямая m имела уравнение y=d.
Рассмотрим произвольную точку М с координатами(x; y). При симметрии относительно прямой l она перейдёт в точку N с координатами (x; -y). Точка N, в свою очередь , перейдёт в точку М1 , что прямая m окажется серединным перпендикуляром к отрезку NM1. Следовательно, середина отрезка NM1 должна иметь координаты (x;d),
а значит, сама точка М1- координаты (x; y=2d).
Итак, в результате последовательного выполнения двух осевых симметрий произвольная точка М (x; y) перешла в точку М1 (x; y+2d), т. е. в такую точку М1, что

=

{0; 2d}.

а

осевых симметрий с параллельными осями является параллельный перенос на

вектор, перпендикулярный к этим осям, длина которого равна удвоенному расстоянию между осями.

и m и выберем на этих прямых соответственно точки

А и В так, чтобы угол АОВ не был тупым.










Возьмём теперь какую – нибудь точку М, отличную от О. Допустим, что она лежит внутри угла АОВ. При симметрии относительно прямой l точка М перейдёт в точку N, что ON=OM и
Поэтому

О осталось
на месте, а произвольная точка М перешла

в точку М1, что
OM1=OM и Кроме того, направление поворота вокруг точки О от ОМ к ОМ1 такое же, как от ОА к ОВ.
Результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с пересекающимися осями является поворот вокруг точки пересечения осей на угол, вдвое больший угла между осями.
В частности, если оси взаимно перпендикулярны, то в результате получится поворот на 180º , т. е. центральная симметрия. Отметим также, что результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с совпадающими осями является, очевидно, тождественное отображение.

Виды движений

Если движение оставляет неподвижными три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, это движение- тождественное отображение.

не является тождественным отображением, то это движение- осевая симметрия.

это движение- поворот вокруг неподвижной точки.

то это движение либо последовательное выполнение трех осевых симметрий,

оси которых не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке.

поворот, либо параллельный перенос, либо последовательное выполнение трех осевых

симметрий, оси которых не параллельны друг другу и не проходят через одну точку.

Вывод