Презентация на тему Принцип Дирихле

Цели работы:
1. Ознакомиться

с биографией Дирихле
2. Рассмотреть различные формулировки принципа Дирихле
3. Научиться применять изученный принцип к решению задач
4. Классифицировать задачи в соответствии с их содержанием:
а) геометрические задачи;
б) задачи на пары;
в) задачи на знакомства и дни рождений;
г) задачи на среднее арифметическое;
д) задачи на делимость;
е) задачи на комбинаторику;
ж) задачи на теорию чисел;
5. Придумать свои задачи, и решить их используя принцип Дирихле

в Дюрене. В 1822-1827 Д. был домашним учителем в

Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 Д. занял место доцента в Бреславле; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855 - профессор Берлинского ун-та, а после смерти К. Гаусса (1855) - Геттингенского ун-та.

числовом поле.
В области математического анализа Д. впервые точно

сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функции, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований.
Значительны труды Д. в механике и математической физике, в частности в теории потенциала.

чисел: установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм

с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - взаимно просты. К решению этих задач Д. применил аналитические функции, названные функциями (рядами) Дирихле.

Принцип Дирихле
Наиболее применяемая формулировка:
"Если в n клетках

сидят
n + 1 "кроликов",
то есть клетка, в которой не менее 2-х "кроликов "

« Дирихле по частоте упоминаний школьниками навсегда обеспечено одно из самых высших мест.»

более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка»

У2.

«Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х «кроликов»

У3. «Если в n клетках сидят не более nk-1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не более k-1 "кроликов»

У4. «Если в n клетках сидят не менее n k+1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "кроликов»

чисел больше a, то, хотя бы одно из этих

чисел больше a»;


У6. «Если сумма n чисел меньше S, то по крайней мере одно из этих чисел меньше S/n».


У7. «Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток».

занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом

океане можно указать две диаметрально противоположные точки.

Континент расположен между примерно
9° з. д. и 169° з. д., 12° ю. ш. 81° с. ш.

Африка расположена между
37° с. ш. и 35° ю. ш., между 17 ° з.д., 51° з. д.

- пары диаметрально противоположных точек планеты. Количество "кроликов" в

данном случае - это площадь океана, а количество "клеток" - половина площади планеты. Поскольку площадь океана больше половины площади планеты, то "кроликов" больше, чем "клеток". Тогда есть "клетка", в которой сидит не менее двух "кроликов", т.е. пара противоположных точек, обе из которых - океан. У2

каждой ели - не более 500000 иголок. Доказать, что

существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

может быть от 1 иголки до 500000 иголок, 800000

ели – число "кроликов", так как, "кроликов" больше чем клеток, значит, есть "клетка", в которой сидит не менее двух "кроликов". Значит, существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок. (У2)

целых чисел. Доказать, что из них можно выбрать два

числа, разность которых делится на 10.

Решение. По крайней мере, два числа из 11 дают одинаковый

остаток при делении на 10 . Пусть это будут A = 10a + r и B = 10b + r.

Тогда их разность делится на 10: A - B = 10(a - b). (У2)

оканчивается на ту же цифру, что число N.

Решение.
Докажем, что N 5-N кратно 10.

N(N-1)

кратно 5

кратно 2

разных цветов (много белых, много черных, много синих, много

красных). Какое наименьшее количество шариков надо наощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета?

Решение
Возьмем за «кроликов» шары, а за «клетки» - черный, белый, синий, красный цвета. Клеток 4, поэтому если кроликов, хотя бы 5, то какие-то два попадут в одну клетку (будет 2 одноцветных шарика).

в восемь цветов. Сколькими способами Андрей может поставить на

доску 8 разноцветных шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке?
Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке?

расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку

в любую из 8 клеток. Во втором столбце — в любую из 7 клеток. (Т. к. нельзя ставить в ту же строку, в которой стоит первая шашка.) Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д. Итого получаем 8 способов.

2) Теперь рассмотрим случай цветных шашек. Возьмём произвольную расстановку белых шашек. Будем раскрашивать эти шашки в 8 цветов, так чтобы любые две из них были покрашены в разные цвета. Первую мы можем покрасить в один из 8 цветов, вторую — в один из 7 оставшихся и.т. д. Т. е. всего 8 способов раскраски. Поскольку способов расстановки тоже 8 , и каждую из этих расстановок мы можем раскрасить 8 способами, то всего способов в этом случае 8·8=8².
Ответ: 8² способов, 8 способов.

10 000 000 людей. На голове у каждого человека не может

быть более 300 000 волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове.

300 000 волос — всего 300 001 вариант. Каждого москвича отнесём к одной

из 300 001 групп в зависимости от количества волос.
2) Если 34 москвича с одинаковым количеством волос не найдутся, то это значит, что в любую из созданных групп входит не более 33 человек.
3)Тогда всего в Москве живёт не более
33·300 001=9 900 033 < 10 000 000 человек, что противоречит условию.
4) Значит, такие 34 москвича обязательно найдутся.