Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Задача и пять методов её решения

Введение Для успешного изучения геометрии необходимо знать не только основные формулы итеоремы, но и владеть различными методами решения задач.Пять основных методов, применяемых в решении задач:координатныйвекторный аналитическийтригонометрическийгеометрический
Задача и пять методов её решения ГАОУ ДПО СарИПКиПРОІІІ региональный конкурс творческих Введение Для успешного изучения геометрии необходимо знать не только основные формулы итеоремы, Гипотеза: Возможно ли решить конкретную задачу всеми указанными методами? ? ? ? Цель работы: Задачи работы: испробовать разные методы на одной задаче; выявить отличительные В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и Примем точку О за начало прямоугольной системы координат, оси Векторы ВЕ и АД выразим через а и с.Так Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника АВС выразим через Способ четвертый: Тригонометрический    Обозначим АВ=х, угол АВС=2α. По теореме Геометрический способ 1.С помощью площадей2. С помощью осевой симметрии 3. По теореме Так как АО=ОD=2, ВЕ=4 и   АD перпендикулярна ВЕ, то площадь Способ шестой: С помощью осевой симметрии 	Точки А и D симметричны относительно Проведем среднюю линию DК треугольника ВСЕ. Так как DК параллельна ВЕ и Секущая ВЕ пересекает стороны треугольника АСD в точках Е и О. По Вывод: В ходе работы мы рассмотрели пять методов решения конкретной задачи:координатныйвекторный аналитическийтригонометрическийгеометрическийКак Литература:Научно-теоретический и методический журнал МО РФ «Математика в школе»   №3 1994
Слайды презентации

Слайд 2 Введение
Для успешного изучения геометрии
необходимо знать
не

Введение Для успешного изучения геометрии необходимо знать не только основные формулы

только основные формулы и
теоремы, но и владеть различными
методами

решения задач.

Пять основных методов, применяемых в решении задач:

координатный
векторный
аналитический
тригонометрический
геометрический



Слайд 3 Гипотеза:
Возможно ли решить конкретную задачу всеми указанными

Гипотеза: Возможно ли решить конкретную задачу всеми указанными методами? ? ? ?

методами?
?
?
?


Слайд 4 Цель работы:
Задачи работы:
испробовать разные методы на

Цель работы: Задачи работы: испробовать разные методы на одной задаче; выявить

одной задаче;
выявить отличительные черты, сильные и слабые стороны

разных методов.

Научиться распознаванию и использованию математических методов при рассмотрении различных решени одной и той же задачи


Слайд 5 В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и

медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4.

Найти стороны треугольника АВС.

Приступая к решению задачи, сразу замечаем, что если О – точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы AD, то прямоугольные треугольники ABO и DВО равны.
Поэтому АО=ОD=2 и АВ=BD, так что ВС=2АВ.


Слайд 6 Примем точку О за начало

Примем точку О за начало прямоугольной системы координат, оси

прямоугольной системы координат, оси Ох придадим направление вектора OD

и будем считать единицей масштаба.
В данной системе точки A, D, B имеют координаты:
А (-2;0), D (2;0) и В (0;b).

Способ первый:

Координатный




Для того чтобы определить длины сторон треугольника АВС, надо найти число b. Выразим через b координаты точек С и Е. Так как D – середина отрезка ВС, то С (4;-b). Для точки Е имеем координаты (0;у). Вторую координату точки Е найдем, пользуясь, тем что точка Е принадлежит прямой АС. Уравнение прямой АС имеет вид:
Координаты точки Е (0;у) удовлетворяют этому уравнению. Подставив в него 0 вместо х, получим: Следовательно, По условию задачи ВЕ=4, значит, , или b=3.

Итак, А (-2;0), В (0;3), С (4;-3). Зная координаты вершин треугольника АВС, найдем его стороны:







Слайд 7 Векторы ВЕ и АД выразим

Векторы ВЕ и АД выразим через а и с.Так

через а и с.Так как ВС=2BD, то СЕ=2АЕ( по

свойству биссектрисы треугольника). Пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении, получим:
Согласно вычитанию векторов, имеем:

Длины векторов ВЕ и АD известны. Пусть
Вычислив скалярные квадраты вектором ВЕ и АD,
получим уравнения:




Найдем теперь через сторону АС, пользуясь векторной
формулировкой теоремы косинусов:
Подставим найденные выше значения и получим:

Способ второй:

Векторный










Слайд 8 Медиану AD и биссектрису ВЕ

Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника АВС выразим через

треугольника АВС выразим через длины а, b, с сторон

треугольника по формулам:



Пусть АВ=х, АЕ=у, тогда ВС=2х и СЕ=2у.
Получим систему уравнений:

Способ третий:

Аналитический




Слайд 9 Способ четвертый:
Тригонометрический
Обозначим АВ=х,

Способ четвертый: Тригонометрический  Обозначим АВ=х, угол АВС=2α. По теореме косинусов

угол АВС=2α. По теореме косинусов из треугольников АВЕ и

ВСЕ находим:

Учитывая, что СЕ=2АЕ или СЕ2=4АЕ2,
получаем: x cos α=3.
Но x cos α=ВО, значит, ВО=3 и ОЕ=1.
Остается, пользуясь теоремой Пифагора, вычислить стороны треугольника АВС.

Слайд 10 Геометрический способ
1.С помощью площадей
2. С помощью осевой

Геометрический способ 1.С помощью площадей2. С помощью осевой симметрии 3. По

симметрии
3. По теореме о средней линии треугольника
4. По

теореме Менелая

Слайд 11 Так как АО=ОD=2, ВЕ=4 и
АD

Так как АО=ОD=2, ВЕ=4 и  АD перпендикулярна ВЕ, то площадь

перпендикулярна ВЕ, то площадь каждого из треугольников ВАЕ и

ВDЕ равна 4. Площадь треугольника СDЕ так же равна 4, так как медиана ED делит треугольник ВСЕ на два равновеликих треугольника.
Значит, площадь треугольника АВС равна 12.
По скольку АD-медиана треугольника АВС,
то площадь треугольника АВD равна 6.
Остается применить формулу площади треугольника. Получим: АО*ВО=6.
Но АО=2, значит, ВО=3
Стороны треугольника АВС найдем по теореме Пифагора.

Способ пятый:

С помощью площадей


Слайд 12 Способ шестой:
С помощью осевой симметрии
Точки А

Способ шестой: С помощью осевой симметрии 	Точки А и D симметричны

и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим еще точку,

симметричную точке С относительно прямой ВЕ. Для этого продолжим отрезок DЕ до пересечения с прямой АВ и обозначим через F точку пересечения прямых АВ и DЕ. Получим равнобедренный треугольник ВСF, из равенства треугольника ВЕF и ВЕС следует, что ВF=ВС. Продолжим еще биссектрису ВЕ до пересечения с СF в точке Н. Тогда ВН - биссектриса треугольника ВСF, а следовательно, и его медиана. Таким образом, Е – точка пересечения медиан треугольника ВСF,
и поэтому ЕН=0,5ВЕ=2, а ВН=6.
Средняя линия AD треугольника ВСF делит медиану ВН пополам, поэтому ВО=3. Далее поступаем так же, как при решении задачи другими способами и получаем тот же ответ.

Слайд 13 Проведем среднюю линию DК треугольника ВСЕ. Так как

Проведем среднюю линию DК треугольника ВСЕ. Так как DК параллельна ВЕ

DК параллельна ВЕ и АО=ОD, то
ОЕ

– средняя линия
треугольника ADK.
Следовательно:
Так как ВЕ=4, то ОЕ=1 и ВО=3

Из приведенного решения видно, что отношение ВО/ОЕ не зависит от отрезков ВЕ и AD. Найти это отношение можно также, используя лишь тот факт, что АD – медиана треугольника АВС и АО=ОВ, причем без всяких вспомогательных построений.

Способ седьмой:

По теореме о средней линии треугольника



Слайд 14 Секущая ВЕ пересекает стороны треугольника АСD в точках

Секущая ВЕ пересекает стороны треугольника АСD в точках Е и О.

Е и О. По теореме Менелая из треугольника АСD

имеем:


а так как

Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ВСЕ и секущей АD, получим:
Но АЕ/АС=1/3 и СD=DB.
Следовательно, ВО/ОЕ=3.

Способ восьмой:

По теореме Менелая





Слайд 15 Вывод:
В ходе работы мы рассмотрели пять методов

Вывод: В ходе работы мы рассмотрели пять методов решения конкретной задачи:координатныйвекторный

решения конкретной задачи:
координатный
векторный
аналитический
тригонометрический
геометрический

Как правило, основными методами решения планиметрических

задач на вычисления являются алгебраические и тригонометрические методы. Но как видно из работы, геометрические методы оказались проще и изящнее, хотя к ним можно прийти только догадавшись провести некоторые вспомогательные линии. Таким образом, важно владеть геометрическими приемами, которые позволяют найти наиболее простое и красивое решение с помощью дополнительных построений.

  • Имя файла: zadacha-i-pyat-metodov-eyo-resheniya.pptx
  • Количество просмотров: 175
  • Количество скачиваний: 0