Презентация на тему Решение треугольников

закрепить знания теорем синусов и косинусов при решении задач
Отработать

нахождение неизвестных элементов в треугольнике
Развивать навыки самостоятельной работы и самооценки
Воспитывать интерес к математике

материала
Промежуточный контроль (тест)
Домашнее задание

его шести элементов (трех сторон и трех углов) по

каким – нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник

А

В

С

α

γ

β

Вычисли устно
А
В
С

60°
Дано: D = 8

ВАС = 60°


Найти : ВС

Ответ : 4 3

Стороны

треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

A

B

b

c

a

γ

α

β

a/sinα = b/sin β = c/sin γ

C

!

Теорема синусов

других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус

угла между ними.

A

B

C

α

BC ² = AB ² + AC ² - 2AB ▪ AC ▪ cos α

!

Теорема косинусов

( в треугольнике DEF угол E – наибольший

).


Если cos E > 0, то треугольник DEF – прямоугольный.
Если cos E= 0, то треугольник DEF – тупоугольный.
Если cos E< 0, то треугольник DEF – остроугольный.

DEK.

а)

б)



в) DK · sin K = … · sin E.

sin D

K D

Е D

Е

К

D

=

=

DEF.
Выбрать верное

равенство.

а) DE ²= EF² + DF² − EF· DF · cos E ;

б) EF² = DE² + DF² − 2·DE·DF· cos D;
в) DF²= DE² + EF²;
г) DE² = EF² + DF² – 2· EF· DF · cos D.

Е

F

D

устно
3
4
60°


Дано : АС=4, ВС=3

АСВ=60°

Найти : АВ

Ответ : АВ = 13

Вычисли устно
Дано: АВ=3, АВ=АС

АСВ=30°

Найти : ВС

30°

3

Ответ : ВС = 3 2

Вычисли устно

45°
4 2
Дано: ВС = 4

2
ВАС = 45°


Найти: R

Ответ : 4

20 см, γ = 50° , β = 60°

Найти: α, b, c.
Решение:

α

β

γ

с

a

b

α= 180° - (β + α)

α = 180° - (50° + 60°) = 70°

b =( 20 ▪ sin 60°) sin 70° ≈ (20 ▪ 0,866) 0,9397 ≈ 18,4(см )

c = (20 ▪ sin 50°) sin 70°≈(20 ▪ 0,766 ) 0,9397 ≈ 16,3(см)

Ответ:70°; 18,4 см; 16,3 см.

а b а c
— = — — = —
sin α sin β sin α sin γ

a · sin β a · sin γ
b = —— c = ——
sin α sin α

Задача №2.
α
β
γ
c
a
b
Дано:
a = 7 см,
b

= 2 см,

c = 8 см

Найти:

α, β, γ

Решение:

cos α = (b ² + c ² - a ²) (2 ▪ b ▪ c)

cos α = (4 + 64 – 49) (2 ▪ 2 ▪ 8 ) ≈ 0,5938

α ≈ 53°34′

cos β = (a ² + c ² - b ²) (2 ▪ a ▪ c)

β ≈ 13°18′

γ = 180° - (α + β) ; γ = 180° - (53°34′ + 13°18′) = 113°08′

Ответ: 53°34′ ; 13°18′ ; 113°08′.

cos β = (49 + 64 – 4) ( 2 ▪ 7 ▪ 8 ) ≈ 0,9732

Задача№3
Две яхты начинают движение
одновременно из одного

и того же
пункта и двигаются равномерно по
прямым, пересекающимися под
углом 60°. Скорость первой 70 км/ч,
второй 60км/ч. Вычислить на каком
расстоянии друг от друга будут
находиться яхты через 3 часа.

Решение:
S1= 70 · 3= 210 (км/ч)
S2 = 60 · 3= 180 (км/ч)

A

B

C

60°

S1

S2

BС²=АВ²+АС² - 2·АВ·ВС·cosА

BС²= 210 ² + 180 ² - 2· 210·180· 0,5
BС² = 38700

BС ≈ 197 км (т.к. BС > 0)

Ответ: 197 км.

А=30°, а
сторона ВС= 4√3. Найдите
диагональ

ВD.

Решение:
ВH АD
S = AD·BH
16√3 = 4√3 · BH
BH = 4
∆ ABH-прямоугольный
AB =4·2= 8 (катет против угла 30°)
4. ∆ ABD, по т. косинусов:
BD² = AB²+AD² - 2AB·AD·cos 30°
BD² = 64+48 – 2 · 8 · 4√3 · √3/2

A

H

B

C

D

BD² = 16

т.к BD > 0, то BD = 4

30°

Жизни.
Мудра Знания.
Указательный палец легко соединяется с подушечкой большого пальца.

Оставшиеся три пальца выпрямлены (не напряжены).

Подушечки мизинца, безымянного и большого
пальцев каждой руки соедините вместе, средние и указательные
пальцы держите выпрямленными.

не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир,

дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

Вариант 1.

1. Выбери верное утверждение:
а) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других его сторон;
б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на косинус угла между ними;
в) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон, минус произведение
этих сторон на косинус угла между ними.

2. Для данного треугольника справедливо равенство…
а) sin α : a = sin γ : b б) sin γ: a = sin α : b
в) a: b = sin α : sin γ г) не ответа

3. В треугольнике CDE известны длины сторон
CD и CE . Величину какого угла
необходимо знать, чтобы найти длину стороны DE?
а) ∠ C, б) ∠ D, в) ∠ E.
4. Стороны треугольника 5 см и 4 см, а угол между ними равен 30°. Найти третью сторону треугольника.

а) √7 см б) √3 см в) 5 см; г) 3 см.
5. Определить вид треугольника со сторонами
5, 6 и 7 см.
а) остроугольный; б) равнобедренный;
в) тупоугольный; г) прямоугольный.

Вариант 2.

1. Выбери верное утверждение:
а) Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов;
б) Стороны треугольника обратно пропорциональны
синусам противолежащих углов;
в) Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов.

2. Для данного треугольника справедливо равенство…
а) a² = b²+ c² - b ·c ·cos α б) b²= a² + c² - 2 а · с· cos β
в) a² = b²+ c² - 2 b ·c · cos β г) нет ответа

3. В треугольнике MNK известны длины сторон
MN и NK . Величину какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны MK?
а) ∠ M, б) ∠ N, в) ∠ K.

4. Стороны треугольника 5 см и 3 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника.
а) 2 см б) √23 см в) √19 см
г) 4,5 см.
5. Определить вид треугольника со сторонами 4, 6 и 9 см.
а) остроугольный; б) равнобедренный;
в) тупоугольный; г) прямоугольный.

Ответы к тесту
1 вариант

1) б

2) г
3) а
4) г
_____________
5) а

2 вариант

1) а
2) б
3) б
4) в
________________
5) в