Презентация на тему Доказательство независимости систем аксиом в различных аксиоматических системах

метрического пространства.
Аксиоматика топологического пространства
Аксиоматика натуральных чисел Пеано.
Контрпример к аксиоматике

Вейля.
Контрпример к аксиоматике Гильберта.
Контрпример к аксиоматике линейного пространства.
Контрпример к аксиоматике метрического пространства.
Контрпример к аксиоматике топологического пространства.
Контрпример к аксиоматике Пеано.

в

а+в
4. произведение вектора на число



5. Скалярное произведение векторов а

и в – ав.

а

2а

-2а

aв<0

ab=0

ab>0

умножения вектора на число
Аксиомы размерности
Аксиомы скалярного произведения.

большие группы: собственно евклидовы и псевдоевклидовы. В первых скалярный

квадрат всегда больше нуля, во вторых – может быть и отрицательный.
Мы будем рассматривать псевдоевклидово пространство, т.к. в отличие от аксиоматики Вейля там не выполняется аксиома о скалярном квадрате.

плоскости.
Изотр.
Изотр.
x0
x1
M
N
O
E1
E0

трехмерного псевдоевклидова пространства в евклидовой плоскости.
Изотропный
конус.
Прямая действительной длины.
Прямая мнимой

длины.

М

самого Евклида и предоставил окончательный и совершенный ее вариант.
Основные

неопределяемые понятия: точки, прямые и плоскости. Эти объекты находятся между собой в отношениях, выражаемых словами «лежат», «между», «равны».
Множество всех прямых, точек и плоскостей называется пространством.

групп:
Аксиомы связи (8 аксиом)
Аксиомы порядка (4 аксиомы)
Аксиомы конгруэнтности (5

аксиом)
Аксиомы непрерывности (3 аксиомы)
Аксиома параллельности (1 аксиома).

аксиому параллельности. Рассмотрим такую геометрию, в которой выполнены все

аксиомы связи, порядка, конгруэнтности и непрерывности. Получим тогда известную геометрию Лобачевского. Рассмотрим модели этой геометрии на евклидовой плоскости.
Модель Кэли-Клейна.

Г

Точки – обычные точки внутри окружности Г, прямые – хорды этой окружности.
Окружность Г – это абсолют. Ее точки не являются точками плоскости Лобачевского.

лежащие внутри окружности Г (абсолюта), прямые – дуги окружностей,

перпендикулярные абсолюту, а также диаметры окружности Г («окружности бесконечно большого радиуса»).

Г

лежащие в верхней полуплоскости по отношению к горизонтальной прямой

Г (абсолюту) и полуокружности с центром на абсолюте.

Г

аксиомы трехмерной геометрии, за исключением одной: аксиомы о пересекающихся

плоскостях. Если в евклидовом пространстве выполняется такая аксиома: две пересекающиеся плоскости имеют единственную общую точку, - то пространство как минимум 4-мерно.

векторным, или аффинным пространством, если:
Для любых x, yL существует

элемент x+yL, называемый их суммой.
Для любых а и xL существует элемент аxL, называемый произведением х на число a.

Элементы L называются векторами.

размерности:
Существует n линейно независимых векторов, но всякие n+1 вектор

линейно зависимы.

например, пространство числовых последовательностей вида а=(α1, α2, …, αn,…).

Все операции над ними будем выполнять покомпонентно: если а=(α1, α2, …, αn,…) и в=(β1, β2, …, βn,…), то а+в=( α1+ β1, α2+ β2, …, αn+ βn,…); с другой стороны для любого действительного p pа=(pα1, pα2, …, pαn,…). Но в таком пространстве уже не будет максимального числа линейно независимых векторов. Примером такой системы является единичный базис е1=(1, 0, 0, …), е2=(0, 1, 0, 0, …), е3=(0, 0, 1, 0, 0, …) и т.д.

пространство, в котором для любых x, y из этого

пространства задана функция (x, y), называемая скалярным произведением и обладающая следующими свойствами:
(x, x)≥0 и (x, x)=0 в том и только в том случае, если x=0;
(x+y, z)=(x, z)+(y, z);
(λx, y)=λ(x, y) для любого комплексного числа λ;
(x, y)=
Черта над формулой означает действие комплексного сопряжения.

нем определены две операции – сложение и умножение, обладающие

свойствами:
a+b=b+a (коммутативность);
a+ (b+c)=(a+b) +c (ассоциативность);
c(a+b) = ca+cb; (a+b)c=ac+bc (левая и правая дистрибутивность);
для любого a a+0=0+a=a ( существование нуля);
a+(-a)=0 для любого a (существование противоположного элемента).


Если в кольце для любых a и b справедливо ab=ba, то кольцо называют коммутативным. Если в кольце для любых a, b и c справедливо (ab)c= a(bc), то кольцо называется ассоциативным. Простейшими примерами ассоциативных и коммутативных колец являются множество целых чисел и множество четных чисел.

состоит на менее, чем из двух элементов, является коммутативным

и ассоциативным кольцом, и если в нем существует единица поля e, обладающая свойствами:
1. ae=a;
2. aa-1=e (существование обратного элемента) a≠0.
Примерами полей могут служить поля рациональных, действительных и комплексных чисел.

Алгеброй ( или линейной алгеброй) над полем P называется пара, состоящая из кольца (A, +, ) и векторного пространства А над Р (базисное множество А у кольца и векторного пространства одно и то же; одинаковы также операция сложения + и нулевой элемент 0). Алгебра называется ассоциативной, если ассоциативно кольцо (A, +, ).

алгебра произвольной размерности над полем Р. Каждым трем элементам

x,y,z А поставим в соответствие выражение (x,y,z) =(xy) z – x (yz), называемое их ассоциатором. В зависимости от тождественных соотношений, связывающих ассоциаторы или иные выражения, получаются различные типы (как еще говорят, примитивные классы, многообразия) алгебр. Примерами служат:
1. ассоциативные алгебры: (x,y,z)=0
2. эластичные алгебры: (x,y,x)=0
3. альтернативные алгебры: (x,x,y)=(y,x,x)=0
4. йордановы алгебры: (x,y, x2)=0; xy-yx=0.

По этому аксиоматическому пути можно, очевидно, двигаться неограниченно. Рассмотрим теперь интересный пример неассоциативной алгебры – алгебра Ли.
В алгебре Ли L над полем Р произведение элементов x и y L принято обозначать [xy]. Операция (x,y) [xy] удовлетворяет двум требованиям:
1. [xx]=0 ([xy]= -[yx] - антикоммутативность);
2. [[xy] z] + [[yz] x] + [[zx] y] = 0 (тождество Якоби).

называется универсальной алгеброй.
Универсальная алгебра с двумя бинарными операциями, удовлетворяющими

тождествам:
a+a=a
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a(a+b)=a
a*a=a
a*b=b*a
(a*b)*c=a*(b*c)
a+a*b=a,
называется решеткой.
Пример решетки – это множество натуральных чисел относительно операций взятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

это дистрибутивные и дедекиндовы решетки. В дистрибутивных решетках выполняется

обычный закон дистрибутивности, в дедекиндовых – заменяется на закон модулярности: если a≤c, то (a+b)c=a+bc.
Если ввести на этих типах решеток нуль и единицу с их обычными свойствами, то получим линейное пространство. При этом дедекиндова решетка будет являться контрпримером к классическому случаю линейных пространств. Произвольная решетка может и не являться линейным пространством.

из некоторого множества X элементов и расстояния, т.е. функции

ρ(x,y), удовлетворяющим следующим 6 аксиомам и определенной для любых x, yX:
1. ρ(x,y) однозначна, т. е. каждому x и y сопоставляется единственное значение ρ(x,y).
2. ρ(x,y)≥0.
3. ρ(x,y)R.
4. ρ(x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y.
5. ρ(x, y)= ρ(y, x) (аксиома симметрии).
6. ρ(x, z)≤ρ(x, y)+ρ(y, z) (аксиома треугольника).

Само метрическое пространство можно обозначить R=(X,ρ).

к аксиоматике метрического пространства, можно построить, отказавшись от требования

однозначности. Воспользовавшись формулой расстояния в евклидовом пространстве ρ(x, y)=
потребуем, чтобы корень принимал как положительные, так и отрицательные значения. Получим множество X, на котором возможны как положительные, так и отрицательные расстояния. На рисунке показано, как будут взаимно располагаться отрезки положительной и отрицательной длины.

Линия полож. расстояний

Линия отр. расстояний

несколько определений. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий ее.

Точка называется предельной точкой множества, если к ней сходится некоторая последовательность точек xn. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки. Открытым называется множество, не содержащее предельных точек дополнительного к нему множества.

множества Х в топологическом пространстве Т – такая, что

всякая ее окрестность имеет непустое пересечение с Х. Совокупность точек прикосновения образует замыкание множества Х, это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Х. Обозначение [X] или Cl Х.
[X][Y]=[XY]
[X]X
[]=
[[X]]=[X]
[T]=T; XY [X][Y]


Замыкание определяет в Т топологическую структуру, в которой замкнутыми множествами считаются такие, что [X]=X.

Внутренняя точка – точка х множества Х, рассматриваемого как топологическое пространство, имеющая открытую окрестность, содержащуюся в Х. Совокупность внутренних точек образует внутренность множества Х; это – объединение всех открытых множеств, содержащихся в Х. Обозначение X или Int X.
На множествах пространства Т внутренность удовлетворяет следующим аксиомам:
XYXY
XX
TT
XX
; XY XY


Внутренность определяет в Т топологическую структуру, в которой открытыми множествами считаются такие, что X=X; эта операция двойственна операции замыкания.

каждой точки топологического пространства Х обладает счетной базой
2-ая аксиома

счетности: система открытых множеств в Х обладает счетной базой.

может не удовлетворять 2-ой аксиоме счетности. Поэтому контрпримером будет

именно сепарабельное пространство, поскольку в нем может не выполняться одна из основных аксиом топологического пространства.

непустого множества N, где существует отношение «следует за» (число,

следующее за а обозначим через а*), удовлетворяющее аксиомам:
1. Существует число 1, не следующее ни за каким числом.
2. Для любого а существует следующее за ним число а*, и притом только одно, т.е. из а=в вытекает а*=в*.
3. Любое число следует не более чем за одним число, т.е. равенство а*=в* влечет а=в.
4. (Аксиома индукции). Пусть некоторое множество М натуральных чисел обладает свойствами:
а. 1 принадлежит М
б. Если а принадлежит М, то а*=а+1 также принадлежит М.
Тогда М содержит все натуральные числа, т.е. множество М совпадает со множеством натуральных чисел.
5. (Аксиома Архимеда). Для любых а, в, принадлежащих N, существует c, принадлежащее N, такое, что вс>a.

такой системы представлена на рисунке ниже.








либо
1
2
3
4
n-1
n
n+1
n+2 …
n+3
n+3
n+4
n+5 …
Аксиома

индукции выполняется для чисел, находящихся на прямой, но не выполняются для чисел, представленных точками, лежащими на окружности или другой прямой, т.к. нарушено условие следования чисел, содержащееся в аксиоме индукции.

системе. Мы исследовали свойства построенных нами объектов. Значит, можно

сделать вывод, что независимость аксиом в данных аксиоматических системах имеет место. Наша гипотеза оправдалась. Значит, эти системы аксиом являются правильно сформулированными.