Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Симметрические системы уравнений

Содержание

Оглавление 1. Введение2. Понятие симметрии, её основные виды3. Решение задач при помощи симметрии4. Симметрические системы5. Способы решения симметрических систем. Метод замены переменных6. Теоремы, используемые при решении симметрических систем7. Заключение8. Список используемой литературы
Симметрические системы уравненийАвтор: Гончаровская Алина учащаяся 11 классаМОУ Рощинской СОШ«Образовательный центр» Руководитель: Оглавление 1. Введение2. Понятие симметрии, её основные виды3. Решение задач при помощи ВведениеПроблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ требуется Понятие симметрии. Симме́три́я — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле — неизменность при каких-либо преобразованиях. Симметрия бывает:двусторонняя;симметрия n-порядка;  аксиальная; сферическая; трансляционная Решение задач при помощи симметрии.  Задача №1   Двое по Задача №2  На плоскости дана прямая l и точки A и Задача №3  На плоскости дан правильный n-угольник A1A2... An, точка O Задача №4При каких a и b система уравнений имеет ровно одно решение? Последняя задача и является примером симметрической системы.Функция f (x;y) называется симметрической, если Примеры симметрических функций:u = x +y;u = 2x 2 -3xy+2y 2 ,v Способы решения симметрических систем.Симметрические системы можно решать методом замены переменных, в роли Пример №1: х 2+ ху + у 2 =13, х + у Пример №23 х 2у – 2ху + 3ху 2 = 78,2х – Решим теперь следующую совокупность систем    х + у = Пример №3:Решение: Возведем второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по теореме Теоремы, используемые при решении симметрических систем.Теорема 1.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен Теорема 2.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль:| x – y | б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х Если х ≥ 1, то:а) х > у и у < 1 в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид ЗаключениеМатематика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения. Так, Список используемой литературы:Башмаков М. И., «Алгебра и начала анализа», 2-е издание, Москва,
Слайды презентации

Слайд 2 Оглавление
1. Введение
2. Понятие симметрии, её основные виды
3. Решение

Оглавление 1. Введение2. Понятие симметрии, её основные виды3. Решение задач при

задач при помощи симметрии
4. Симметрические системы
5. Способы решения симметрических

систем. Метод замены переменных
6. Теоремы, используемые при решении симметрических систем
7. Заключение
8. Список используемой литературы

Слайд 3 Введение
Проблема моего проекта заключается в том, что для

ВведениеПроблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ

успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений,

а в курсе средней школы им отведено недостаточно времени, необходимого познать этот вопрос глубже.
Цель работы: подготовиться к успешной сдачи ЕГЭ.
Задачи работы:
Расширить свои знания в области математики, связанные с понятием «симметрия».
Повысить свою математическую культуру, используя понятие «симметрия» при решении систем уравнений, называемых симметрическими, а также других задач математики.



Слайд 4 Понятие симметрии.
Симме́три́я — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле —

Понятие симметрии. Симме́три́я — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле — неизменность при каких-либо

неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела

означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Двусторонняя симметрия означает, что право и лево относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Слайд 5 Симметрия бывает:
двусторонняя;
симметрия n-порядка; 
аксиальная;
сферическая;
трансляционная


Симметрия бывает:двусторонняя;симметрия n-порядка;  аксиальная; сферическая; трансляционная

Слайд 6 Решение задач при помощи симметрии. Задача №1

Решение задач при помощи симметрии. Задача №1  Двое по очереди

Двое по очереди кладут одинаковые монеты на круглый

стол, причём монеты не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Иначе говоря, у какого из игроков есть выигрышная стратегия?)

Решение. При правильной игре выигрывает тот, кто начинает - первый игрок. Вот его стратегия. Первым ходом он кладёт монету в центр стола. Затем после каждого хода второго первый кладёт монету симметрично монете, только что положенной вторым, относительно центра стола (рис. 1). Очевидно, если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, первый игрок побеждает.


Слайд 7 Задача №2
На плоскости дана прямая l

Задача №2 На плоскости дана прямая l и точки A и

и точки A и B по одну сторону от

неё. Нужно найти на прямой такую точку C, чтобы сумма длин отрезков AC и BC была минимальна.

Решение. Построим точку A', симметричную A относительно прямой l. Заметим, что для любой точки C, лежащей на прямой l, AC=A'C. Поэтому
AC+BC=A'C+BC.
В силу неравенства треугольника сумма A'C+BC минимальна тогда и только тогда, когда точка C лежит на отрезке A'B (рис. 2). Итак, C=A'B l.


Слайд 8 Задача №3
На плоскости дан правильный n-угольник

Задача №3 На плоскости дан правильный n-угольник A1A2... An, точка O

A1A2... An, точка O - его центр (рис. 3).

Найти вектор .

Решение. Введём обозначения: φ= A1OA2, - поворот на угол φ с центром в точке O (т. е. есть вектор, полученный из вектора указанным поворотом). Тогда, поскольку многоугольник A1A2... An правильный,

Как известно, сложение векторов и поворот перестановочны: если сумму нескольких векторов повернуть на угол φ и, наоборот, каждый из векторов-слагаемых повернуть на тот же угол, а затем сложить, результат будет один и тот же. Кроме того, сумма векторов не зависит от их порядка. Поэтому:

Итак, вектор не меняется при повороте на угол 0o<φ <360o. Значит, = .


Слайд 9 Задача №4
При каких a и b система уравнений

Задача №4При каких a и b система уравнений имеет ровно одно


имеет ровно одно решение?
Если тройка чисел (x0,y0,z0 )

- решение системы, то решениями будут и тройки, полученные из неё всевозможными перестановками: (x0 ,z0 ,y0 ),
(y0 ,x0 ,z0 ), (y0 ,z0 ,x0 ), (z0 ,x0 ,y0 ), (z0 ,y0 ,x0 ). Решение может быть единственным только в том случае, когда x0 =y0 =z0 . Из первого уравнения
х0 =y0 =z 0=1. Подставляя эти значения x, y и z во второе и третье уравнения, получаем, что a=b=3. Осталось только проверить, что при этих a и b у системы действительно нет других решений, кроме (1,1,1).



Слайд 10 Последняя задача и является примером симметрической системы.

Функция f

Последняя задача и является примером симметрической системы.Функция f (x;y) называется симметрической,

(x;y) называется симметрической, если для всех x и y

выполнено равенство

Например: Многочлен от двух переменных вида f(x,y) = 3x 2 – 2xy + 3y 2+ 15является симметрической функцией. В самом деле,


Слайд 11 Примеры симметрических функций:
u = x +y;
u = 2x

Примеры симметрических функций:u = x +y;u = 2x 2 -3xy+2y 2

2 -3xy+2y 2 ,
v = xy;
u = x 2

+ y 2 ;



Слайд 12 Способы решения симметрических систем.
Симметрические системы можно решать методом

Способы решения симметрических систем.Симметрические системы можно решать методом замены переменных, в

замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены.

Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = х + у , v = ху.

х 2 + у 2 = (х + у) 2 - 2ху = u 2 - 2v,
х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 -ху + у 2) = u (u 2- 2v – v) = u 3 - 3uv,
х4 + у 4 = (х 2 + у 2)2 - 2х 2у 2 = (u 2 - 2v) 2 - 2v 2 = u 4 - 4u 2v + 2v 2,
х 2 + ху + у 2 = u 2 - 2v + v = u 2 - v и т.д.


Слайд 13 Пример №1:
х 2+ ху + у 2

Пример №1: х 2+ ху + у 2 =13, х +

=13,
х + у = 4;
Пусть х + у

= u, ху = v.

u 2 – v = 13,
u = 4;

16 – v = 13,
u = 4;

v = 3,
u = 4;





Произведем обратную замену.
х + у = 4,
ху = 3;
х = 4 – у
ху = 3;
х = 4 – у,
(4 – у) у = 3;
х = 4 – у,
у 1 = 3; у 2= 1;
х 1 = 1, х 2 = 3,
у 1 = 3, у 2 = 1.

Ответ: (1; 3); (3; 1).







Слайд 14 Пример №2
3 х 2у – 2ху + 3ху

Пример №23 х 2у – 2ху + 3ху 2 = 78,2х

2 = 78,
2х – 3ху + 2у + 8

= 0

С помощью основных симметрических многочленов система может записана в следующем виде
3uv – 2v = 78,
2u – 3v = -8.
Выражая из второго уравнения u = и подставляя его в первое уравнение, получим 9v2– 28v – 156 = 0. Корни этого уравнения v 1 = 6 и v 2 = - позволяют найти соответствующие им значения u1 = 5, u2= - из
выражения u = .








Слайд 15 Решим теперь следующую совокупность систем

Решим теперь следующую совокупность систем   х + у =

х + у = 5, и

х + у = - ,
ху = 6 ху = - .

х = 5 – у, и у = -х - ,
ху = 6 ху = - .
х = 5 – у, и у = -х - ,
у (5 – у) = 6 х (-х - ) = - .
х = 5 – у, и у = -х - ,
у 1= 3, у 2 =2 х 1 = , х 2 = -
х 1 = 2, х 2 = 3, и х 1 = , х 2 = -
у 1= 3, у 2 =2 у 1 = - , у 2=
Ответ: (2; 3), (3; 2), ( ; - ), (- ; ).






























Слайд 16 Пример №3:
Решение:
Возведем второе уравнение в куб, получим:

Пример №3:Решение: Возведем второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по


Таким образом, по теореме Виета,
и
являются корнями квадратного
уравнения
Отсюда
и
Значит,


Заметим, что мы нашли один из корней уравнения

Ответ:



Слайд 17 Теоремы, используемые при решении симметрических систем.
Теорема 1.  (о симметрических

Теоремы, используемые при решении симметрических систем.Теорема 1.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический

многочленах)
Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в

виде функции от двух основных симметрических многочленов


Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что

Слайд 18 Теорема 2.  (о симметрических многочленах)

Любой симметрический многочлен от

Теорема 2.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим

трёх переменных представим в виде функции от трёх основных

симметрических многочленов:




Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что

Слайд 19 Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль:
|

Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль:| x – y

x – y | + y2 = 3,
| x

– 1 | + | y – 1 | = 2.
Рассмотрим данную систему отдельно при х < 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;





Слайд 20 б) при х ≤ у < 1 система

б) при х ≤ у < 1 система принимает вид -

принимает вид
- х + у + у

2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у > х) система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 + у – 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х – у = - 2,
откуда находим х 1 = - 3, у 1 = - 1, х 2 = - 1, у 2 = 1. Вторая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. е. является решением данной системы.






Слайд 21 Если х ≥ 1, то:
а) х > у

Если х ≥ 1, то:а) х > у и у <

и у < 1 система принимает вид
х – у

+ у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х > у и у ≥ 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 + у – 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 4,
откуда находим х = 1, у = 3. Эта пара чисел не принадлежит рассматриваемой области;






Слайд 22 в) при х ≤ у (тогда у ≥

в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает

1) система принимает вид
- х + у +

у 2 = 3,
х – 1 + у – 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 4,
откуда находим х 1 = 5 + √8, у 1 = - 1 - √8;
х 2 = 5 - √8, у 2 = - 1 + √8. Эти пары чисел не принадлежат рассматриваемой области.
Таким образом, х 1 = - 1, у 1 = 1; х 2 = 1, у 2 = - 1.
Ответ: ( - 1; 1); ( 1; - 1).





Слайд 23 Заключение
Математика развивает мышление человека, учит посредством логики находить

ЗаключениеМатематика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения.

разные пути решения. Так, научившись решать симметрические системы, я

поняла, что использовать их можно не только для выполнения конкретных примеров, но я для решения разного рода задач.
Я думаю, что проект может принести пользу не только мне. Для тех, кто так же захочет ознакомиться с этой темой, моя работа будет являться хорошим помощником.

  • Имя файла: simmetricheskie-sistemy-uravneniy.pptx
  • Количество просмотров: 130
  • Количество скачиваний: 0