Презентация на тему Старинные задачи

вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность шестиугольника. Найти

приближение для П , которым пользовались вавилоняне
Решение:Сторона правильного шестиугольника , вписанного в окружность, равняется радиусу, следовательно, 2ПR=6R , откуда

Древние вавилоняне умели строить равносторонний треугольник, а с

его помощью делить прямой угол на три равные части.
Пусть дан прямой угол АВС. Требуется разделить его на три равные части. Для этой цели на отрезке ВД стороны ВА построим равносторонний треугольник ВЕД. Тогда угол СВЕ будет составлять одну треть прямого угла. Остаётся только разделить пополам угол ЕВД, и задача будет решена.

С

В

А

Е

Д

полусумм противоположных сторон. Выяснить,для каких четырехугольников эта формула точно

определяет площадь

Решение:Возьмем две пары противоположных чисел а,b,c,d. Согласно условию задачи, площадь четырехугольника


Действительно, для а=b ; c=d ; S=ac.

АВ построить равносторонний треугольник.
Решение.Приняв А за центр,

опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр, опишем другую окружность тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружностей через С и соединив её прямыми с А и В, получим треугольник АВС, который, как легко проверить, и есть искомый.

Пусть ВАС- данный произвольный угол. Возьмём на стороне АВ

произвольную точку Д.Далее на стороне АС построим отрезок АЕ=АД. Точки Д и Е соединим прямой. Теперь на отрезке ДЕ построим равнобедренный треугольник ДЕН. Соединим А и Н прямой, которая и будет делить данный угол пополам, так как ∆АДН= ∆АЕН.

А

Д

Н

Е

В

С

углом так, чтобы он был равновелик данному треугольнику.
Решение: Пусть

АВС- данный треугольник, а -данный угол. Для решения задачи делим ВС в точки Д пополам и строим при точке Д угол, равный . Далее через С прово-дим прямую параллельную прямой ДЕ, а через точку А- прямую АН, параллельную ВС. Тогда полученный парал-лелограмм ДЕНС и будет искомым.

В

А

Е

Н

С

Д





данному треугольнику.
Решение.На окружности данного круга берём произвольную точку А1

и в ней проводим касательную ДЕ. Далее строим угол ЕА1С1, равный углу β , и угол ДА1 В1, равный углу Y
После соединения точек В1 и С1 прямой получаем треугольник А1В1С1, который и будет искомым.

А

В

С

β

α

Y

Д

Е

А1

Y

β

О

выполненное Аполлонием, до нас не дошло, однако оно упоминается

некоторыми древними авторами. По-видимому, Аполлоний, чтобы решить задачу в общем виде, рассматривал ее части и предельные случаи: построить окружность,
1) проходящую через три данные точки;
2)касающуюся трех данных прямых;
3) проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых;
4) проходящую через данную (прямую) точку и касающуюся двух данных пересекающихся прямых;
5) Проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой;
6)Касающуюся данной окружности и проходящую через две данные точки;
7)Касающуюся трех данных окружностей, проходящих через одну общую точку.

Исследование показывает, что если задача Аполлония имеет конечное число решений, то их не более восьми.

него вписан,
то описанный круг по площади в два раза

больше вписанного
Решение: Sопис= ΠR2 ; Sвпис. =Π r2 ;

r = R= , где а- сторона квадрата.

Тогда Sопис= и Sвпис =

Следовательно, Sопис= 2Sвпис

доказал:
Каждый круг равновелик прямоугольному треугольнику, если радиус равен одному

из катетов, а выпрямленная окружность равна другому катету;
Круг относится к квадрату своего диаметра, как 11 к 14;
Покажите, что оба положения Архимеда тождественны с сов ременным правилом вычисления: площадь круга равна r2.
Решение:
2Пr ·r=Пr2

; откуда ;




Таким образом,площадь круга,по Архимеду,как и теперь,равняется