Презентация на тему НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

линию пересечения самой поверхности Ф с какой-то плоскостью, например,

Т, в которую заключена прямая l.
Плоскость Т может быть какой угодно плоскостью, но ее положение в пространстве следует выбирать так, чтобы проекции линии пересечения m по возможности имели наибо-лее простую геометрическую форму – прямой (ломаной) или окружности.

Прямая пересекает поверхность, если она пересекает какую-либо линию, принадлежащую этой поверхности

l ∩ Φ ═ {K1,K2,…}, {K1,K2,…}= l ∩ m ; m ⊂ Φ

(l Т)
с условием,

что Т ∩ Φ = m – линия на проекциях по возможности
наиболее простой геометрической формы.
Если Т  Пк, то  mк ≡ Тк ≡ lк
2. Строим проекции линии m.
3. Так как (l  Т)  (m  Т), то
l ∩ m = {К1, К2, …}
{К1, К2, …} m; m  Φ {К1, К2, …} Φ
 {К1, К2, …} = l ∩Φ

Общий (краткий) алгоритм построения
точки пересечения прямой с поверхностью

плоскость α(АВС).
Определить: взаимное положение прямой l и плоскости

α

lТ; ТПк. Тогда Ткlк

На примере ТП1  Т1l1

вспомогательной Т.

m =α∩T
m T  mk  Tk ; mα  m (1,2)
На примере. m1  T1 ; mα  m (1,2), 1=m∩AB, 2=m∩CB
3. Определяем точку К пересечения прямых l и m, которая является точкой пересечения прямой l с плоскостью α.

прямой l с плоскостью α

1. lТ; ТП1  Т1≡l1

2. m =α∩T  m  Т  m1 Т1 l1 ;
m  α ( АВС)  m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС;
3. l2 ∩m2 =К2  l ∩ m=К,  К= l ∩ α

Пример 1

поверхности)

пересечения прямой l с поверхностью пирамиды.
Так как при пересечении

гранной поверх-ности плоскостью всегда образуется ломаная линия, то выбор положения вспомогательной плоскости α (α  П1 или
α  П2) не имеет значения.
Выбираем фронтально-проецирующую плоскость α  П2.
Следовательно α2  l2

пирамиды FABC
m = α ∩ FABC
α2  l2 ≡

m2

Определяем точки
К1 и К2 пересечения линии m и l
m1 ∩ l1={K11 , К21}
Определяем видимость
прямой l

m{1,2,3}
α ∩ FA = 1;
α ∩ FB = 3;
α ∩ FС = 2

l.
Определить точки К1 и К2 пересечения прямой l с

конической поверхностью Ф.
Так как коническая поверхность является прямой круговой с вертикальной осью вращения, то все параллели этой поверхности являются горизонталями.
Заданная прямая также является горизонталью.
Следовательно, если прямую l заключить в горизонтальную плоскость уровня, например, Т, то линией пересечения плоскости Т с поверхностью Ф будет одна из параллелей поверхности Ф.

линии m. m1-окружность
На горизонтальной проекции

опре-деляем точки К1 и К2 пересечения прямой l и линии m.
Строим фронтальные проекции точек К1 и К2.
Определяем видимость участков прямой l.

пространственная кривая линия.
Линия пересечения может быть представлена как

множество точек.
Каждая точка множества рассматривается как точка пере-сечения двух линий, получаемых от пересечения заданных поверхностей вспомогательными секущими плоскостями.

Φ ∩ Ω = l
l{K1, K2, K3,… Ki}
Ki = mi ∩ ni
mi = Φ ∩ Σi
ni = Ω ∩ Σi

Σi – вспомогательная секущая плоскость-посредник

плоскостей должна пересекать обе заданные поверхности;
линии, получаемые в результате

пересечения должны пересекаться между собой и иметь, по возможности, наиболее простую геометрическую форму.

или неполным (частичным).

поверхностей является ломаная прямая линия, точками излома которой являются

точки пересечения ребер одной гранной поверхности с гранями другой.
Вся задача на построение линии пересечения двух гранных поверхностей сводится к много-кратному решению задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью.

гранной поверхности с кривой поверхностью представляет собой ломаную кривую

линию, точками излома которой являются точки пересечения ребер гранной поверхности с кривой поверхностью, а линиями, соединяющими эти точки – плоские кривые, получаемые при пересечении граней гранной поверхности (отсеков плоскостей) с кривой поверхностью.
Т.е. задача на построение линии пересечения гранной поверхности с кривой поверхностью сводится к многократному решению двух задач:
определение точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью;
построение линии пересечения кривой поверхности плоскостью.

пересечения являются окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных их общей

оси вращения.

и Ω описаны вокруг третьей поверхности вращения второго порядка

Θ (сферы) или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые m и n второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.