Презентация на тему к уроку по математике Решение показателных неравенств

вида аf(x)>b, а>0.
3.Неравенства вида аf(x) > bg(x).
4.Решение показательных

неравенств методом замены переменной.
5.Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций.
6.Графическое решение показательных неравенств

показательной
функцией

т.к. 1х=1, т.е. показательная функция «вырождается» в постоянную функцию

у=1- это неинтересно;
если а=0, то 0х=0 для любого положительного значения х, т.е. мы получаем функцию у=0, определённую при х>0, - это тоже неинтересно;
если а<0, то выражение а имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы всё-таки предпочитаем рассматривать функции, определённые на сплошных промежутках

на рис.1 или 2, называют экспонентой. Обратите внимание на

геометрическую особенность показательной функции у=аx: ось х является горизонтальной асимптотой графика

рис.1

рис.2

D(f)=(-∞;+∞)

D(f)=(-∞;+∞)

E(f)=(0;+∞)

E(f)=(0;+∞)

Монотонно возрастает

Монотонно убывает

неравенств подобного вида основано на следующих утверждениях:

если а>1, то

неравенство аf(x) > аg(x) равносильно неравенству f(x)>g(x);

если 0<а<1, то неравенство аf(x) > аg(x) равносильно неравенству f(x)
Кратко можно записать:
а>1 => ( аf(x) > аg(x) <=> f(x)>g(x));

0<а<1 => ( аf(x) > аg(x) <=> f(x)
Применяя какой -либо метод при решении неравенства, содержащего знак >, этот же метод можно применять и при решении неравенств, содержащих знаки<, ≤, ≥. В частности, можно, например, записать:

0<а<1 => (аf(x) ≤ аg(x) <=> f(x)≥g(x))

1. Неравенства вида аf(x) > аg(x)

≤ .

1.(-∞; 0,3]

2.(-∞; -4,3] 3.[-4,3; +∞) 4.[0,3; +∞)

Решение:

Поскольку = 7-2 , то имеем 7х+2,3≤7-2.

Т.к. основание степени равно 7 и оно больше 1,

это неравенство равносильно неравенству того же смысла:

х+2,3≤-2, х≤-2-2,3, х≤-4,3.


Правильный ответ:

2

1,5] 2. (-∞;

] 3. (-∞; 1] 4. (-∞; 3]

Решение:

81=34 ,

при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Получаем: 81х=34х.

Исходное неравенство запишем в виде: 37х-9 ≤ 34х.

Основание степени больше 1,

поэтому неравенство равносильно неравенству того же смысла:

7х-9≤4х, 7х-4х≤9, 3х≤9, х≤3.

Правильный ответ:

4

≤ 0.

1.(-∞; ) 2.(-∞;

] 3.( ; +∞) 4.[ ; +∞)

Решение:
Перенесём -1 с противоположным знаком в правую часть неравенства:
( ) 2-5x ≤ 1.
Учитывая, что 1=( )0, имеем ( )2-5x ≤ ( )0.
Основание степени равно , и оно больше 0, но меньше 1.
Тогда исходное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла 2-5х≥0.
Перенесём 2 в правую часть неравенства с противоположным знаком:
-5х≥-2.
Разделим обе части на -5, при этом заменим знак неравенства на противоположный:
х ≤ .
Учитываем, что это нестрогое неравенство и включает .
Правильный ответ:

2

≤4х .

1.[1;6]

2.[2;3] 3.(-∞;2]U[3; +∞) 4. (-∞;1]U[6; +∞)

Решение:
Поскольку 4х =22х , получим: 2 ≤ 22х.

Т.к. основание степени равно 2 и оно больше 1, то это неравенство равносильно неравенству того же смысла:
х2 -5х+6≤2х.
Перенесём 2х из правой части неравенства в левую с противоположным знаком:
х2 -5х+6-2х≤0,
приведём подобные члены:
х2 -7х+6≤0.
Рассмотрим функцию у = х2-7х+6. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х. Для этого решим уравнение х2-7х+6=0.
Получим: х1=6, х2=1.
Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны 1 и 6. Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости.
Из рисунка видно, что функция принимает неположительные значения на [1;6].
Правильный ответ:

1

Х

1

6

1,5] 2.(-∞; -о,5]

3.[1,5; +∞) 4.[-0,5; +∞)
№2. 5х ≥
1.[0,5; +∞) 2. (-∞; -6,5] 3. (-∞; 7] 4.[-6,5; +∞)
№3. 0,75х+1≥0,72х-9
1.(-∞; ] 2 .[ ; +∞) 3.(-∞; ] 4.[ ; +∞)
№4. ( )3х-7 >0,04
1.(-∞; 3) 2.(-∞; ) 3.(3; +∞) 4(-∞; )
№5. 33х-2 ≥
1.(0;+∞) 2.(-∞; 0) 3.[0; +∞) 4.(-∞;0]
№6. 32х-1≥
1.(-0,5;+∞) 2.(-∞; -0,5) 3.[-1,5; +∞) 4.[-0,5; +∞)
№7. 0,2 ≤ 0,2
1.(1;+∞) 2.(-∞ ; +∞) 3.( -∞;1) 4.[-1;1]
Ответы к заданиям:

заданиях на нахождение области определения и на нахождение множества

значений

Примеры:
Найдите область определения функции:
а)g(x)=ln (91,5-0,3х - )
1.(10;+∞) 2.(- ∞;10) 3. (0;10] 4.(- ∞;0)
Для решения данного примера воспользуемся областью определения логарифмической функции.
91,5-0,3х - >0.
Получили показательное неравенство, решение которого приводилось выше.
Правильный ответ:
б) f(x)=
1.(1;+∞) 2.( -∞;-1] 3. (-∞ ; -1) 4.[1;+∞)
Т.к. областью определения арифметического квадратного корня является множество неотрицательных чисел, то решение сводится к решению показательного неравенства: 23х+1 -16≥0.
Правильный ответ:
Укажите множество значений функции у=2х +5.
1.(5;+∞;) 2.(0;+∞) 3.( -∞;+∞) 4.(7;+∞;)
Множество значений показательной функции у=2х - все положительные числа.
2х >0, 2 х+5>5.
Правильный ответ:

2.

4.

1

х € D(f); б)b>0, тогда аf(x) >b

<=> f(x) >logab при а>1; аf(x) >b <=> f(x)

) > 0 при х€R, то (

)х > -1, <=> х€R
Ответ: х€R.

Пример 2:
Решите неравенство: 2х > 5.
Решение:
2х >5 <=> 2х >2 <=> x > log2 5.
Ответ:( log2 5; ;+∞).

Пример 3:
Решите неравенство: ( )3х ≥3.
Решение:
( )3х ≥( ) <=>3x≤ log 3 <=> x ≤ log 3 <=> x ≤ log
Ответ:( -∞; log ]

4х-5 > -0,1
1.( -∞;+∞)

2.(-1;+∞) 3.( -∞;1) 4.(1;+∞;)

Правильный ответ:

1

подобного вида применяют логарифмирование обеих частей по основанию а

или b.Учитывая свойства показательной функции, получаем:

аf(x) >bg(x) <=> f(x)>g(x)loga b,
если а>1;

аf(x) >bg(x) <=> f(x)если 0< а<1

исходного неравенства по основанию 2.
Тогда имеем: 2x ≥ 3;
log2

(2х )≥ log2 (3 );
x≥x2 log2 3;
x- x2 log 2 3≥0;
x(1-x log2 3) ≥0;
х€ [0; ]

Ответ :

[0; log3 2]

+ 27

t2 -12t+27<0;
33<3х <9;
31 <3х <32 ;
1

Ответ :

(1;2)

неравенство: 4х-2*52х -10х>0.
Решение:
Исходное неравенство можно записать в виде 4х-2*52х

-2х*5х>0;
В левой части – однородные функции относительно 2х и 5х .
Разделив обе части исходного неравенства на 52х , получаем:
( )х - 2- ( ) х >0;
(( )х )2 -( ) х -2>0.

Обозначив ( )х =t, получаем t2 -t-2>0;
t<-1, t>2.
Поскольку t>0=>t>2 и исходное неравенство равносильно следующему:

( )х >2; ( ) х >( ) ;

xОтвет :

( -∞; log 2)

содержится показательная функция, а в другой - любая другая

Решите неравенство: 5 2+х>2-3x.
1.(-∞; +∞) 2.(1; +∞) 3.(-∞;-1) 4(-1;+∞) .
Решение:
Такое неравенство решаем графически. Построим графики функций
у=5 2+х и у=2-3х.








Правильный ответ:

4

у=2-3х

у=52+х

х

у

2.( -∞;1] 3. [3 ;

7] 4.[1;+∞)
Решение:
Такое неравенство решаем графически. Построим графики функций
у= 5х-4 и у= (х-2)2.












Правильный ответ:

2

х

у

1

у=(х-2)2

у=5х-4