Слайд 2
Число π
Куда бы мы ни обратили
свой
взор, мы видим проворное и трудолюбивое число π: оно
заключено
и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине
Ф. Кымпан
Слайд 3
Число π
В математике есть «Четыре замечательные точки
треугольника», «Первый замечательный предел» и число, которое обозначается буквой
греческого алфавита π. Так чем же оно замечательно? Впервые с этим необычным числом мы встречаемся на уроках математики в 6 классе при изучении темы: «Окружность и круг». Число π — математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к длине ее диаметра. Если взять окружность с диаметром равным единице, то длина окружности и будет равна числу π = 3,1415926…- бесконечной, десятичной, непериодической дроби
Слайд 4
История числа π
Число π было известно людям
с глубокой древности. Открывателями числа π можно считать людей
доисторического времени, которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в 3 раза длиннее диаметра
Слайд 5
История числа π
История числа π шла параллельно
с развитием всей математики
Древний период: π изучалось с позиции
геометрии (Архимед III в. до н.э.)
Классическая эра: π изучалось с позиции математического анализа (Ф.Виет, Л.Эйлер)
Эра компьютеров: π изучалось с позиции цифровой техники (19.10.2011 рассчитано 10 триллионов цифр после запятой)
Слайд 6
Практические вычисления
Проделаем следующий опыт. Вырезаем из
картона круг. Ставим его ребром на лист бумаги, где
начерчена прямая линия. Отмечаем на прямой и на окружности точку их касания А. Затем плавно катим круг по прямой до тех пор, пока отмеченная точка на окружности не окажется на прямой в точке В. отрезок АВ будет равен длине окружности.
АВ =15,1см; d = 4,8см.
АВ : d =15,1:4,8=3,1458333…= π
Слайд 7
Практические вычисления
Вырежем из картона несколько кругов. Измерим их
окружности и диаметры, а затем найдем отношения длины каждой
окружности к длине своего диаметра. Результаты измерений занесем в таблицу
Слайд 8
Практические вычисления
Возьмем монеты различного достоинства. Измерим
у каждой длину окружности и диаметр. Вычислим приближенное значение
числа π по формуле π=С:d
Найдем среднее арифметическое числа π (3,1111+3,1429+3,1364+3,1600+3,1923+3,1304):6=3,1455…
Слайд 9
Практические вычисления
Используем ряд Лейбница. Это один из простейших
рядов. Хотя он и не самый эффективный, так как
очень медленно сходится к числу π
π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) +(4/17)...
Чем больше дробей мы сложим, тем более точное значение π мы получим
Слайд 10
Практические вычисления
π = (4/1) - (4/3) + (4/5)
- (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) -
(4/15) +(4/17)...
Результаты вычислений:
Слайд 11
Применение числа
В тригонометрии число π -
радианное измерение углов. Длины дуг окружности выражаются некоторыми долями
числа π. На рисунке показано построение точек синусоиды с помощью единичной окружности
Слайд 12
Применение числа
В современной математике
π входит в большое количество различных формул
В планиметрии -
длина окружности, дуги; площадь круга и его частей
В стереометрии - объем шара и его частей; объем цилиндра, конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса, сферы
В физике - теория относительности; квантовая механика; ядерная физика
В теории вероятностей - формула
Стирлинга для вычисления факториала
Слайд 13
Число π в географии
Если рассчитать длину экватора Земли,
приняв π с точностью до девятого знака, то ошибка
в расчётах составит всего около 6 мм.
Тридцати девяти знаков после запятой в числе π достаточно для вычисления длины окружности, опоясывающей известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью не большей, чем радиус атома водорода
Слайд 14
Число π в географии
Кандидат географических наук В. Пиотровский
доказал, что все структуры рельефа Земли -от мелких до
гигантских -связаны между собой числом π
Отношение длины берега к расстоянию между истоком и устьем примерно равно 3,14 (числу "Пи")
Слайд 15
Число π в задачах
Задача 1
Минутная
стрелка Кремлевских курантов имеет длину 3,6 метра. Какова длина
дуги окружности, которую описывает конец стрелки в течение 15 минут?
Решение.
За 15 минут конец минутной стрелки описывает четверть окружности то есть с = *2r = r = *3,14* 3,6 = 5,652 (м)
Ответ: 5,652 м
Слайд 16
Число π в задачах
Задача 2.
Вычислите длину земного
экватора, зная, что радиус его приближенно равен 6400 км.
Решение.
Длину
окружности земного экватора вычислим по формуле:
С =2r = 2*3,14*6400 = 40192 (км)
Ответ: 40192 км
Слайд 17
Число π в задачах
Задача 3
Спутник вращается по
круговой орбите на высоте 100 км от поверхности Земли.
Какова длина пути, проходимого спутником за 1 оборот вокруг Земли? Диаметр Земли составляет 12 640 км.
Решение.
D1 = D(земли) + 100 км
С = D1= (12 640 + 100) * 3,14 = 40003,6 (км)
Ответ: 40003,6 км
Слайд 18
Число π в задачах
Задача 4
Два
велосипедиста одновременно начали двигаться по единичной окружности из одной
точки в противоположных направлениях. Первый велосипедист за одну секунду проходит угол в положительном направлении, а второй за одну секунду проходит угол в отрицательном направлении. В какой точке окружности они встретятся первый раз? Встретятся ли они когда–нибудь снова в первоначальной точке? Найти все точки встречи.
Слайд 19
Число π в задачах
Задача 4
Решение.
За одну секунду
велосипедисты сближаются на угол
+ =
Длина единичной окружности 2π.
Найдем время, через которое велосипедисты встретятся первый раз t = 2π: =2π· = (с). За это время первый велосипедист повернется по окружности в положительном направлении на угол = Все точки встречи можно записать выражением вида - натуральное число.
Ответ: , да, ,k – натуральное число.
Слайд 20
Египетские пирамиды и число π
1.
Пирамиды строго
ориентированы по сторонам света, все их размеры связаны со
значением числа π
Измерения пирамиды Хеопса привели к новым сенсационным данным. Оказалось, что периметр пирамиды, разделенный на удвоенную высоту, дает значение числа π с точностью до 0,01
Слайд 21
Пирамида Хеопса и число π
Задача 5
Дано:
SABCD-правильная четырехугольная
пирамида
а=АВ=230,3 м - сторона основания
h=SO=146,6 м
– высота, Р-периметр квадрата ABCD
Найти: Р:2h
Решение:
Р=4а – периметр основания
Р:2h=4а:2h =2а:h=2*230,3:146,6 = =460,6:146,6=3,1418826….
Ответ: Р:2h = 3,14 – число π
Слайд 22
День рождения числа π
Этот праздник был учрежден
в 1987 году физиком из Сан-Франциско, который подметил, что
в американской системе записи дат (месяц/число) 14 марта – 3.14 и время 1:59:26 совпадает с первыми разрядами числа π = 3,1415926
В этот день принято читать хвалебные речи в честь числа π, его роли в жизни человечества.
Итальянцы в этот день готовят ПИццу, англичане – жареную ПИкшу, немцы ставят на стол свиной шПИк, французы готовят что-нибудь ПИкантное.
В России же пекут ПИроги.
Слайд 23
День приближенного значения числа π
Датой, связанной
с числом π, является 22 июля, так как в
европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой неправильной дроби является приближённым значением числа π=22/7=3,1428571…
Слайд 24
Памятники числу π
«Пи» – часы
Памятник числу «Пи» перед зданием музея искусств в Сиэтле
Дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить число «Пи»
Прозрачный флакон духов с вытесненными геометрическими узорами назван в честь числа «Пи»
Слайд 25
Правило запоминания числа π
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно
прочесть:
3,три
14 четырнадцать
15 пятнадцать
92 девяносто два и
6 шесть
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
3, 14 15 92 6 три, четырнадцать, пятнадцать,
девяносто два и шесть
С.Бобров. ”Волшебный двурог”